Arithmétique dans ℕ
Mathématiques – Tronc Commun Tichnologies TCT
Introduction
L’arithmétique est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers naturels (ℕ). C’est la base de nombreuses théories mathématiques et applications cryptographiques modernes.
ℕ
Nombres naturels
0, 1, 2, 3…
Outils
Division euclidienne
PGCD, PPCM
Applications
Cryptographie
Algorithmique
1. Division Euclidienne
\[ a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < b \]
Théorème fondamental
Pour tout entier naturel a et tout entier naturel non nul b, il existe un unique couple (q,r) tel que :
Avec :
- q : quotient
- r : reste
Exemple interactif
Calculer la division de par
2. PGCD et Algorithme d’Euclide
PGCD : Définition
Le Plus Grand Commun Diviseur de deux entiers a et b est le plus grand entier qui divise simultanément a et b.
Propriétés :
- PGCD(a,b) = PGCD(b,a)
- PGCD(a,0) = a
- Si a|b, PGCD(a,b) = a
Algorithme d’Euclide
Basé sur la propriété :
\[ PGCD(a,b) = PGCD(b, r) \]où r est le reste de la division de a par b
Exemple pratique
Calculons PGCD(56, 20) :
Donc PGCD(56,20) = 4
Calculateur interactif :
PGCD(, )
= 4
3. Théorèmes Fondamentaux
Théorème de Bézout
Deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si on peut trouver une combinaison linéaire de ces nombres égale à 1.
Exemple :
8 et 5 sont premiers entre eux car :
\[ 8 \times 2 + 5 \times (-3) = 1 \]Théorème de Gauss
Si un nombre divise un produit et est premier avec l’un des facteurs, alors il divise l’autre facteur.
Exemple :
3 | 5×6 et PGCD(3,5)=1 ⇒ 3 | 6
4. Nombres Premiers
Définition
Un nombre premier est un entier naturel ≥2 qui n’a que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Exemples :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…
1 n’est pas premier !
Théorème fondamental
Tout entier n ≥ 2 se décompose de manière unique (à l’ordre près) en produit de facteurs premiers :
\[ n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k} \]
Crible d’Ératosthène
Méthode pour trouver tous les nombres premiers jusqu’à une limite donnée :
5. Applications et Exercices
Exercice 1
Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3.
Exercice 2
Trouver tous les entiers n tels que n+2 divise n² + 4.
Applications modernes
- Cryptographie RSA : Basée sur la difficulté de factoriser de grands nombres
- Algorithmes : Calcul du PGCD, simplification de fractions
- Théorie des codes : Codes correcteurs d’erreurs
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