Arithmétique Avancée
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Division Euclidienne
a) Théorème fondamental
∀ (a,b) ∈ ℤ×ℕ*, ∃! (q,r) ∈ ℤ² tel que :
\( a = bq + r \) avec \( 0 ≤ r < b \)
\( a = bq + r \) avec \( 0 ≤ r < b \)
b) Application pratique
Exemple : 37 ÷ 5
37 = 5×7 + 2
| Dividende | 37 |
| Diviseur | 5 |
| Quotient | 7 |
| Reste | 2 |
2. PGCD et Algorithme d’Euclide
a) Définition
PGCD(a,b) = Plus Grand Commun Diviseur de a et b
PPCM(a,b) = Plus Petit Commun Multiple
Relation : PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = |ab|
PPCM(a,b) = Plus Petit Commun Multiple
Relation : PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = |ab|
b) Algorithme d’Euclide
Méthode : Répéter la division euclidienne jusqu’à obtenir un reste nul
3. Théorèmes Clés
a) Théorème de Bézout
a ∧ b = 1 ⇔ ∃ (u,v) ∈ ℤ² tel que au + bv = 1
Exemple avec 15 et 22 (premiers entre eux)
b) Théorème de Gauss
Si a|bc et a ∧ b = 1 alors a|c
4. Nombres Premiers
a) Définition et propriétés
p ≥ 2 est premier si ses seuls diviseurs sont 1 et p
Théorème fondamental : Tout entier ≥2 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers
Théorème fondamental : Tout entier ≥2 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers
b) Crible d’Eratosthène
5. Exercices d’Application
Exercice 1 : Trouver tous les entiers n tels que n+2 divise n²+4
Exercice 2 : Montrer que pour tout n ∈ ℕ, 7 divise 3^(2n+1) + 2^(n+2)
Exercice 3 : Résoudre dans ℤ² l’équation 15x + 22y = 1 (équation diophantienne)
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