Arithmétique Avancée
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Division Euclidienne
a) Théorème fondamental
\( a = bq + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < b \)
b) Application pratique
Exemple : 37 ÷ 5
\( 37 = 5 \times 7 + 2 \)
| Dividende | 37 |
| Diviseur | 5 |
| Quotient | 7 |
| Reste | 2 |
2. PGCD et Algorithme d’Euclide
a) Définition
Le PPCM(\( a,b \)) est le plus petit multiple commun.
Relation fondamentale : \( \text{PGCD}(a,b) \times \text{PPCM}(a,b) = |ab| \)
b) Algorithme d’Euclide
L’algorithme s’arrête quand le reste devient nul.
3. Théorèmes Clés
a) Théorème de Bézout
\( au + bv = 1 \)
Exemple : 15 et 22 sont premiers entre eux.
b) Théorème de Gauss
4. Nombres Premiers
a) Définition et propriétés
Théorème fondamental de l’arithmétique : Tout entier \( n \geq 2 \) se décompose de façon unique (à l’ordre près) en produit de facteurs premiers.
b) Crible d’Eratosthène
5. Exercices d’Application
Exercice 1 : Trouver tous les entiers \( n \) tels que \( n+2 \) divise \( n^2 + 4 \).
Solution :
On écrit : \( n^2 + 4 = (n+2)(n-2) + 8 \)
Donc \( n+2 \mid n^2 + 4 \iff n+2 \mid 8 \)
Les diviseurs de 8 sont : \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \)
Donc \( n+2 \in \{\pm1, \pm2, \pm4, \pm8\} \Rightarrow n \in \{-10, -6, -4, -3, -1, 0, 2, 6\} \)
Exercice 2 : Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), 7 divise \( 3^{2n+1} + 2^{n+2} \).
Solution par récurrence :
- Initialisation : Pour \( n=0 \), \( 3^1 + 2^2 = 3 + 4 = 7 \), divisible par 7 ✅
- Hérédité : Supposons que \( 7 \mid 3^{2n+1} + 2^{n+2} \)
- Montrons que \( 7 \mid 3^{2(n+1)+1} + 2^{(n+1)+2} = 3^{2n+3} + 2^{n+3} \)
- \( 3^{2n+3} + 2^{n+3} = 9 \cdot 3^{2n+1} + 2 \cdot 2^{n+2} \)
- Or \( 9 \equiv 2 \mod 7 \), donc \( 9 \cdot 3^{2n+1} + 2 \cdot 2^{n+2} \equiv 2(3^{2n+1} + 2^{n+2}) \equiv 0 \mod 7 \)
Par récurrence, c’est vrai pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
Exercice 3 : Résoudre dans \( \mathbb{Z}^2 \) l’équation diophantienne : \( 15x + 22y = 1 \)
Solution :
1. On vérifie que \( \text{PGCD}(15,22) = 1 \) → solution existe.
2. Algorithme d’Euclide étendu :
- \( 22 = 1 \times 15 + 7 \)
- \( 15 = 2 \times 7 + 1 \)
- \( 7 = 7 \times 1 + 0 \)
Remontée :
\( 1 = 15 – 2 \times 7 = 15 – 2(22 – 15) = 3 \times 15 – 2 \times 22 \)
Donc \( x_0 = 3 \), \( y_0 = -2 \) est une solution particulière.
3. Solution générale :
\( x = 3 + 22k \)
\( y = -2 – 15k \) pour \( k \in \mathbb{Z} \)
