Angles Inscrits et au Centre – 3AC
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Angles Inscrits et Angles au Centre
1. Définitions
Angle au centre
α
Angle inscrit
β
O
A
B
C
Angle au centre
Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés sont deux rayons.
Angle inscrit
Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont deux cordes.
2. Propriété Fondamentale
Dans un cercle, la mesure d’un angle au centre est le double de celle d’un angle inscrit qui intercepte le même arc.
α = 2β
α
β
Arc AB
O
A
B
C
Démonstration :
1. Le triangle AOC est isocèle en O (OA = OC = rayon)
2. L’angle au centre α est un angle extérieur au triangle AOC
3. Dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des angles intérieurs non adjacents
4. Donc α = β + β = 2β
3. Exemples d’Application
Exemple 1 : Calcul d’angle
Dans un cercle, un angle inscrit mesure 30°. Quel est la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc ?
Solution : α = 2 × β = 2 × 30° = 60°
Exemple 2 : Cas particulier
Quand l’angle inscrit intercepte un demi-cercle (angle droit) :
Angle droit (90°)
L’angle au centre correspondant est un angle plat (180°), donc l’angle inscrit vaut 180°/2 = 90°.
4. Méthode de Résolution
- Identifier l’angle inscrit et l’angle au centre qui interceptent le même arc
- Appliquer la propriété : angle au centre = 2 × angle inscrit
- Résoudre l’équation pour trouver la mesure inconnue
- Vérifier la cohérence des résultats
Attention : Cette propriété ne s’applique que lorsque les angles interceptent le même arc de cercle.
5. Cas Particuliers et Pièges
Cas particuliers :
- Angle inscrit interceptant un demi-cercle = angle droit (90°)
- Deux angles inscrits interceptant le même arc sont égaux
Pièges à éviter :
- Confondre angle au centre et angle inscrit
- Oublier de vérifier que les angles interceptent bien le même arc
- Négliger les propriétés des triangles isocèles dans les démonstrations
