Théorème de Pythagore & Cosinus
2ème Année Collège
1. Le Triangle Rectangle
Un triangle rectangle possède un angle droit (90°) et deux angles aigus. Ses côtés portent des noms spécifiques :
Hypoténuse
Côté opposé à l’angle droit (le plus long)
Côtés adjacents
Les deux autres côtés formant l’angle droit
2. Théorème de Pythagore
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]
Énoncé
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Application
Si AB = 3 cm et AC = 4 cm :
\[ BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
\[ BC = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]
3. Réciproque du Théorème
Si \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \) alors le triangle est rectangle en A
Méthode
- Calculer \( AB^2 + AC^2 \)
- Calculer \( BC^2 \)
- Comparer les deux résultats
- Si égalité → triangle rectangle
Exemple
Un triangle a des côtés de 5 cm, 12 cm et 13 cm :
\[ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \]
\[ 13^2 = 169 \]
Donc le triangle est rectangle.
4. Cosinus d’un Angle Aigu
\[ \cos(\theta) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}} \]
Définition
Le cosinus est le rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse.
Application
Si AB = 3 cm et BC = 5 cm :
\[ \cos(B) = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} = 0,6 \]
Pour trouver l’angle : \( B = \cos^{-1}(0,6) ≈ 53° \)
5. Exercices Interactifs
Pythagore
Triangle ABC rectangle en A avec AB = 6 cm, AC = 8 cm. BC = ?
cmCosinus
Triangle rectangle avec adjacent = 4, hypoténuse = 5. cos(θ) = ?
