🔺 Triangle Rectangle et Cercle ⭕
Géométrie – 2ème Année Collège
📚 Introduction
Le triangle rectangle possède une relation particulière avec le cercle grâce à la propriété du cercle circonscrit. Cette propriété permet de résoudre de nombreux problèmes géométriques.
🎯 Propriété Clé
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit
📏 Conséquence
Le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit
💡 Application
Reconnaître un triangle rectangle
Démontrer des propriétés
1. 🔵 Cercle Circonscrit au Triangle Rectangle
📜 Énoncé
Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse.
ABC rectangle en A ⇒
O (milieu de [BC]) est centre du cercle
BC est diamètre
Réciproque : Si un triangle est inscrit dans un cercle avec un côté comme diamètre, alors il est rectangle.
🎨 Illustration
2. 🔍 Démonstration
🧠 Raisonnement
1. Soit ABC rectangle en A
2. Soit O le milieu de [BC]
3. On trace [OA]
4. Par symétrie, OA = OB = OC
5. Donc A, B, C appartiennent au cercle de centre O et de diamètre BC
Réciproque :
Si A est sur le cercle de diamètre [BC], alors l’angle BAC est droit (théorème de l’angle inscrit).
📐 Illustration géométrique
AO = BO = CO = BC/2
3. 🛠 Applications Pratiques
🔧 Construction
Construire un triangle rectangle connaissant son hypoténuse :
- Tracer le segment [BC] (hypoténuse)
- Placer O milieu de [BC]
- Tracer le cercle de centre O et diamètre BC
- Placer A n’importe où sur le cercle (sauf en B ou C)
Exemple :
Si BC = 10 cm, alors le cercle a pour rayon 5 cm
📏 Calcul de longueur
4. 📝 Exercices
Exercice 1
Soit ABC un triangle rectangle en A, avec AB = 5 cm et AC = 12 cm.
- Tracer le cercle circonscrit à ABC
- Calculer son rayon
Exercice 2
Soit un cercle de diamètre [EF] = 10 cm et G un point du cercle tel que EG = 6 cm.
- Démontrer que EFG est rectangle
- Calculer FG
