Triangles et Droites Parallèles
Géométrie – 2ème Année Collège
Introduction
Les relations entre triangles et droites parallèles permettent de résoudre de nombreux problèmes géométriques. Nous étudierons deux théorèmes fondamentaux : le théorème de Thalès (version triangle) et la propriété des milieux.
Théorème Clé
Si une droite est parallèle à un côté d’un triangle, elle détermine un nouveau triangle semblable
Cas Particulier
Droite passant par les milieux de deux côtés ⇒ parallèle au troisième côté
Applications
Calcul de longueurs
Démontrer le parallélisme
1. Théorème (Configuration Triangle)
Énoncé
Soit ABC un triangle et (MN) une droite parallèle à (BC) qui coupe (AB) en M et (AC) en N.
Conséquence : Les triangles AMN et ABC sont semblables.
Illustration
Exemple numérique :
Si AM = 3cm, AB = 9cm et AN = 4cm, alors :
2. Réciproque du Théorème
Énoncé
Si une droite coupe deux côtés d’un triangle en segments proportionnels, alors elle est parallèle au troisième côté.
Application : Démontrer que deux droites sont parallèles.
Exercice type
3. Propriété de la Droite des Milieux
Première propriété
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle :
- Elle est parallèle au troisième côté
- Elle mesure la moitié de ce côté
Illustration
Application pratique :
Cette propriété permet de :
- Diviser un segment en parties égales
- Construire des figures géométriques complexes
- Résoudre des problèmes de pavage
4. Exercices d’Application
Problème 1
Sur la figure ci-contre, (DE) ∥ (BC), AD = 5cm, AB = 15cm et BC = 12cm.
Questions :
- Calculer AE/AC
- En déduire DE
Problème 2
I est milieu de [AB], J est milieu de [AC], et BC = 18cm.
Questions :
- Démontrer que (IJ) ∥ (BC)
- Calculer IJ
