Droites Remarquables dans un Triangle
Géométrie – 2ème Année Collège
Introduction
Dans un triangle, il existe quatre types de droites remarquables qui possèdent des propriétés géométriques fascinantes. Ces droites se rencontrent souvent en des points particuliers.
Types de droites
• Médianes
• Médiatrices
• Hauteurs
• Bissectrices
Points remarquables
Centre de gravité
Centre du cercle circonscrit
Orthocentre
Centre du cercle inscrit
Propriétés
Concourantes
Proportions spécifiques
Relations angulaires
1. Médianes et Centre de Gravité
Définition : Segment joignant un sommet au milieu du côté opposé
Propriétés
- Les 3 médianes sont concourantes
- Le point d’intersection s’appelle le centre de gravité (noté G)
- G est situé aux 2/3 de chaque médiane en partant du sommet
- C’est le point d’équilibre du triangle
Construction
2. Médiatrices et Cercle Circonscrit
Définition : Droite perpendiculaire à un côté passant par son milieu
Propriétés
- Les 3 médiatrices sont concourantes
- Le point d’intersection est le centre du cercle circonscrit (noté O)
- Ce cercle passe par les 3 sommets du triangle
- Dans un triangle rectangle, O est au milieu de l’hypoténuse
Construction
3. Hauteurs et Orthocentre
Définition : Droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé
Propriétés
- Les 3 hauteurs sont concourantes
- Le point d’intersection s’appelle l’orthocentre (noté H)
- Dans un triangle rectangle, H est au sommet de l’angle droit
- Dans un triangle obtusangle, H est à l’extérieur du triangle
Cas particuliers
4. Bissectrices et Cercle Inscrit
Définition : Droite coupant un angle en deux angles égaux
Propriétés
- Les 3 bissectrices sont concourantes
- Le point d’intersection est le centre du cercle inscrit (noté I)
- Ce cercle est tangent aux 3 côtés du triangle
- I est équidistant des trois côtés du triangle
Construction
5. Synthèse et Exercices
Tableau récapitulatif
| Droite | Point remarquable | Propriété |
|---|---|---|
| Médiane | Centre de gravité (G) | Partage la médiane 2:1 |
| Médiatrice | Centre du cercle circonscrit (O) | Équidistant des sommets |
| Hauteur | Orthocentre (H) | Point de concours des hauteurs |
| Bissectrice | Centre du cercle inscrit (I) | Équidistant des côtés |
Exercice interactif
Dans un triangle ABC rectangle en A :
1. Où se trouve l’orthocentre H ?
2. Quelle droite passe par A, G et O ?
