Les Quatre Opérations sur les Nombres Rationnels
Mathématiques – 2ème Année Collège
Introduction
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b où a et b sont des entiers (b ≠ 0). Dans ce cours, nous allons maîtriser les quatre opérations fondamentales avec ces nombres.
Notation
\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^* \right\} \]
Exemples
• \( \frac{3}{4} \) • \( -\frac{7}{2} \) • \( \frac{12}{-5} \)
Formes
Fractionnaire – Décimale – Pourcentage
1. Addition et Soustraction
\[ \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd} \]
Méthode pratique
- Trouver le PPCM des dénominateurs
- Mettre au même dénominateur
- Additionner/soustraire les numérateurs
- Simplifier le résultat
Cas particuliers
2. Multiplication
\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \]
Technique de simplification
Simplifier avant de multiplier :
Règle des signes :
- (+) × (+) = (+)
- (-) × (-) = (+)
- (+) × (-) = (-)
Inverse d’un rationnel
3. Division
\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \]
Méthode pratique
Diviser par une fraction = multiplier par son inverse
Attention à la division par zéro !
Exercice interactif
Calculez :
\[ \frac{5}{8} \div \frac{15}{4} = \]
4. Applications Pratiques
Problème 1
Ahmed a mangé 1/4 d’une pizza et Fatima a mangé 1/3 de la même pizza. Quelle fraction de la pizza ont-ils mangée ensemble ?
Problème 2
Un réservoir contient 1200L d’eau. On utilise les 3/5 de sa capacité, puis on ajoute les 2/3 de ce qu’on a utilisé. Quelle quantité finale ?
5. Quiz de Vérification
1. \( \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \)
2. \( \frac{7}{4} \times \frac{8}{21} = \)
