Introduction

La géométrie dans l’espace étend les concepts du plan à la troisième dimension. Elle permet de modéliser des objets réels et de résoudre des problèmes de positions relatives entre droites et plans.

1. Droites dans l’espace

Représentation paramétrique

Une droite passant par \( A(x_0,y_0,z_0) \) de vecteur directeur \( \vec{u} \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} \) a pour équation :

\( \begin{cases} x = x_0 + ka \\ y = y_0 + kb \\ z = z_0 + kc \end{cases} \) (k ∈ ℝ)

Positions relatives

• Droites parallèles : vecteurs directeurs colinéaires
• Droites sécantes : point commun unique
• Droites non coplanaires : ni parallèles ni sécantes

2. Plans dans l’espace

Équation cartésienne

Un plan passant par \( A(x_0,y_0,z_0) \) de vecteur normal \( \vec{n} \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} \) a pour équation :

\( a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 \)

Positions relatives

• Plans parallèles : vecteurs normaux colinéaires
• Plans sécants : intersection selon une droite
• Plans confondus : mêmes équations

3. Produit vectoriel

Pour \( \vec{u} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix}x’ \\ y’ \\ z’\end{pmatrix} \) :

\( \vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} yz’ – zy’ \\ zx’ – xz’ \\ xy’ – yx’ \end{pmatrix} \)

Propriétés

• \( \vec{u} \wedge \vec{v} \) est orthogonal à \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \)
• \( \|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sinθ \)
• Utilisé pour trouver un vecteur normal à un plan

4. Applications géométriques

Distance point-plan

Pour un plan d’équation \( ax+by+cz+d=0 \) et un point \( M(x_0,y_0,z_0) \) :

\( d(M,P) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \)

Volume d’un parallélépipède

Avec \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \) : \( V = |(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}| \)

Exercice 1: Équation de droite

Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A(1,2,-1) de vecteur directeur \( \vec{u} \begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} \).

Exercice 2: Équation de plan

Déterminer l’équation du plan passant par A(1,0,2), B(3,-1,1) et C(0,2,4).

Exercice 3: Intersection droite-plan

Déterminer l’intersection de la droite \( D: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 – t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \) avec le plan P: x + y + z – 6 = 0.

Exercice 4: Distance point-plan

Calculer la distance de M(1,-2,3) au plan P: 2x – y + 2z + 1 = 0.

Exercice 5: Produit vectoriel

Calculer \( \vec{u} \wedge \vec{v} \) pour \( \vec{u} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix} \).