Introduction

La dérivation est un outil fondamental en analyse qui permet d’étudier les variations d’une fonction et ses propriétés locales. Historiquement, elle a été développée pour résoudre des problèmes de tangentes et de vitesses instantanées.

1. Nombre dérivé

Définition : Soit f définie sur un intervalle I contenant a.

Le nombre dérivé de f en a est la limite (si elle existe) :

\( f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)

Interprétation géométrique : C’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.

2. Fonction dérivée

Lorsque f est dérivable en tout point de I, on définit sa fonction dérivée :

\( f’: x \mapsto f'(x) \)

Dérivées usuelles :

3. Opérations sur les dérivées

Soient u et v dérivables sur I et λ ∈ ℝ :

• Somme : \( (u+v)’ = u’ + v’ \)
• Produit : \( (uv)’ = u’v + uv’ \)
• Quotient : \( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \) (v ≠ 0)
• Composée : \( (u(v(x)))’ = u'(v(x)) \times v'(x) \)

4. Applications

1. Tangente : Équation au point d’abscisse a :

\( y = f'(a)(x-a) + f(a) \)

2. Variations :

• Si f’ ≥ 0 sur I ⇒ f croissante
• Si f’ ≤ 0 sur I ⇒ f décroissante

3. Extremums : Si f’ s’annule en changeant de signe en a, alors extremum en a.

Exercice 1: Calcul de dérivée

Dériver \( f(x) = 3x^4 – 2x^2 + 5x – 1 \).

Exercice 2: Dérivée composée

Dériver \( g(x) = \sqrt{3x^2 + 1} \).

Exercice 3: Tangente

Déterminer l’équation de la tangente à \( f(x) = \frac{1}{x} \) en x=2.