📈 La Dérivation
1ère Bac Sciences et Technologies Elécriques STE
Introduction
La dérivation est un outil fondamental en analyse qui permet d’étudier les variations d’une fonction et ses propriétés locales. Historiquement, elle a été développée pour résoudre des problèmes de tangentes et de vitesses instantanées.
1. Nombre dérivé
Définition : Soit f définie sur un intervalle I contenant a.
Le nombre dérivé de f en a est la limite (si elle existe) :
\( f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)
Interprétation géométrique : C’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.
2. Fonction dérivée
Lorsque f est dérivable en tout point de I, on définit sa fonction dérivée :
\( f’: x \mapsto f'(x) \)
Dérivées usuelles :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \( x^n \) (n ∈ ℕ*) | \( nx^{n-1} \) |
| \( \frac{1}{x} \) | \( -\frac{1}{x^2} \) |
| \( \sqrt{x} \) | \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) |
3. Opérations sur les dérivées
Soient u et v dérivables sur I et λ ∈ ℝ :
- Somme : \( (u+v)’ = u’ + v’ \)
- Produit : \( (uv)’ = u’v + uv’ \)
- Quotient : \( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \) (v ≠ 0)
- Composée : \( (u(v(x)))’ = u'(v(x)) \times v'(x) \)
4. Applications
1. Tangente : Équation au point d’abscisse a :
\( y = f'(a)(x-a) + f(a) \)
2. Variations :
- Si f’ ≥ 0 sur I ⇒ f croissante
- Si f’ ≤ 0 sur I ⇒ f décroissante
3. Extremums : Si f’ s’annule en changeant de signe en a, alors extremum en a.
Exercice 1: Calcul de dérivée
Dériver \( f(x) = 3x^4 – 2x^2 + 5x – 1 \).
Exercice 2: Dérivée composée
Dériver \( g(x) = \sqrt{3x^2 + 1} \).
Exercice 3: Tangente
Déterminer l’équation de la tangente à \( f(x) = \frac{1}{x} \) en x=2.
