Solution :
Matrice de rotation :
\( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \)
⇒ A'(-1,3)

Solution :
\( z’ = e^{iπ/4}z = (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})(2+2i) \)
\( = (\sqrt{2} + i\sqrt{2})(1+i) = \sqrt{2}(1+i)^2 = \sqrt{2}(2i) = 2i\sqrt{2} \)

Solution :
Translation pour ramener Ω à l’origine :
A” = (2-1,3-1) = (1,2)
Rotation de π : (-1,-2)
Translation inverse : A’ = (-1+1,-2+1) = (0,-1)

Solution :
La composée de deux rotations de même centre est une rotation d’angle la somme des angles :
r2 ∘ r1 = r(O, π/3 + π/6) = r(O, π/2)

Solution :
Le vecteur directeur (1,2) devient (-2,1) par rotation.
Pente de (D’) : \( \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \)
⇒ (D’): y = -½x

Solution :
1+i = √2 e^iπ/4 ⇒ rotation de centre O (car pas de terme constant)
Angle : π/4, rapport : √2 (homothétie composée)

Solution :
Seul le centre Ω est invariant dans une rotation d’angle non nul.
(Car ΩM = ΩM’ et angle(ΩM,ΩM’) = θ ≠ 0 ⇒ M = M’ seulement si M = Ω)

Solution :
La réciproque d’une rotation r(O,θ) est r(O,-θ) :
r^-1 = r(O,-2π/5)

Solution :
1. Tracer [AB] avec AB = √((1-1)²+(2-1)²) = 1
2. Construire l’angle de π/3 en A
3. Reporter la distance AB = AB’ = 1
4. Coordonnées exactes : B'(1 + cos(π/3)-sin(π/3), 1 + sin(π/3)+cos(π/3))

Solution :
1. Translation de vecteur -Ω : A” = (2,1)
Rotation de π : (-2,-1)
Translation inverse : A’ = (-1,-2)
2. Milieu de [AA’] = \( \left(\frac{3-1}{2}, \frac{0-2}{2}\right) = (1,-1) = Ω \)