Leçon : Vecteurs et Translation
1. Introduction aux Vecteurs
Un vecteur est un objet mathématique représenté par un segment orienté, caractérisé par :
- Direction : la droite qui le porte
- Sens : l’orientation (flèche)
- Norme : sa longueur (distance entre les points)
Notation : \(\overrightarrow{AB}\) ou \(\vec{u}\)
Figure 1 : Représentation graphique d’un vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
1.1 Coordonnées d’un vecteur
Si \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\), alors :
\[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix} \]
Exemple :
Soient \(A(2; 5)\) et \(B(7; 3)\).
\[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 7 – 2 \\ 3 – 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} \]
2. Égalité de vecteurs
Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux si :
- Ils ont la même direction
- Le même sens
- La même norme
Ce qui équivaut à dire que \(ABDC\) est un parallélogramme.
Remarque : Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.
3. Translation
Une translation est une transformation géométrique qui associe à tout point \(M\) un point \(M’\) tel que :
\[ \overrightarrow{MM’} = \vec{u} \]
où \(\vec{u}\) est un vecteur donné.
3.1 Propriétés des translations
- Conserve les longueurs (isométrie)
- Conserve les angles
- Conserve les aires
- L’image d’une droite est une droite parallèle
Figure 2 : Translation d’une figure par un vecteur \(\vec{u}\)
4. Composition de translations
La composée de deux translations de vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est une translation de vecteur \(\vec{u} + \vec{v}\).
\[ t_{\vec{u}} \circ t_{\vec{v}} = t_{\vec{u} + \vec{v}} \]
Exemple :
Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\).
\[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix} \]
