Équations et Inéquations du Premier Degré
1. Équations du Premier Degré
Une équation du premier degré est une égalité contenant une inconnue (généralement x) élevée à la puissance 1.
ax + b = cx + d
Résolution :
Méthode :
- Développer et réduire chaque membre
- Isoler les termes en x d’un côté et les constantes de l’autre
- Diviser par le coefficient de x pour obtenir la solution
- Vérifier la solution en la substituant dans l’équation initiale
Exemple :
Résoudre 3(x – 2) = 5x + 4
1. Développement : 3x – 6 = 5x + 4
2. Isoler : 3x – 5x = 4 + 6 ⇒ -2x = 10
3. Diviser : x = 10 / (-2) = -5
4. Vérification : 3(-5 – 2) = 5×(-5) + 4 ⇒ -21 = -25 + 4 ⇒ -21 = -21 ✓
2. Cas Particuliers
- Équation sans solution : 0x = 5 (impossible)
- Équation avec infinité de solutions : 0x = 0 (tous x réels)
- Équation produit-nul : (ax + b)(cx + d) = 0 ⇒ ax + b = 0 ou cx + d = 0
3. Inéquations du Premier Degré
Une inéquation du premier degré est une inégalité contenant une inconnue x élevée à la puissance 1.
ax + b ≤ cx + d
Résolution :
Méthode :
- Développer et réduire chaque membre
- Isoler les termes en x d’un côté et les constantes de l’autre
- Diviser par le coefficient de x en inversant le sens si on divise par un négatif
- Représenter la solution sur une droite numérique
Exemple :
Résoudre 2(3 – x) < 4x + 10
1. Développement : 6 – 2x < 4x + 10
2. Isoler : -2x – 4x < 10 – 6 ⇒ -6x < 4
3. Diviser : x > 4 / (-6) ⇒ x > -2/3 (on inverse car division par négatif)
4. Solution : x ∈ ]-2/3; +∞[
4. Règles des Inégalités
| Opération | Effet sur l’inégalité |
|---|---|
| Addition/Soustraction | Ne change pas le sens |
| Multiplication/Division par un positif | Ne change pas le sens |
| Multiplication/Division par un négatif | Inverse le sens |
5. Stratégies de Résolution
Pour les équations :
- Éliminer les dénominateurs en multipliant par le PPCM
- Regrouper les termes semblables
- Isoler l’inconnue
Pour les inéquations :
- Toujours vérifier le sens après multiplication/division
- Représenter graphiquement la solution
- Faire un test avec une valeur dans l’intervalle solution
Exemple Complexe :
Résoudre (x + 3)/2 ≥ (2x – 1)/3
1. PPCM(2,3)=6 ⇒ 3(x + 3) ≥ 2(2x – 1)
2. Développer : 3x + 9 ≥ 4x – 2
3. Isoler : 9 + 2 ≥ 4x – 3x ⇒ 11 ≥ x
4. Solution : x ≤ 11 ou x ∈ ]-∞; 11]
6. Applications Concrètes
Ces techniques sont essentielles pour :
- Résoudre des problèmes de la vie courante (budgets, distances, etc.)
- Trouver des valeurs optimales
- Déterminer des intervalles de validité
- Préparer les études de fonctions
