Trigonométrie 2
Équations et Inéquations Trigonométriques – Tronc Commun Technologies
Introduction
Les équations trigonométriques contiennent des fonctions trigonométriques d’une inconnue. Leur résolution nécessite une approche spécifique due à la périodicité des fonctions trigo.
Types
• sin(x) = a
• cos(x) = b
• tan(x) = c
Périodicité
sin/cos: 2π
tan: π
Solutions
Généralement
infinies
1. Équations Trigonométriques Élémentaires
1. sin(x) = a
Si |a| ≤ 1 :
x = arcsin(a) + 2kπ
ou x = π – arcsin(a) + 2kπ
(k ∈ ℤ)
2. cos(x) = b
Si |b| ≤ 1 :
x = arccos(b) + 2kπ
ou x = -arccos(b) + 2kπ
(k ∈ ℤ)
3. tan(x) = c
Solution générale :
x = arctan(c) + kπ
(k ∈ ℤ)
Attention aux valeurs interdites :
x ≠ π/2 + kπ
2. Méthodes de Résolution
Substitution
Pour résoudre 2sin²x + 3sinx + 1 = 0 :
- Poser y = sinx
- Résoudre 2y² + 3y + 1 = 0
- Solutions y₁ = -1, y₂ = -0.5
- Résoudre sinx = -1 et sinx = -0.5
Formules trigo
Utiliser :
- sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb
- cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb
- sin²x + cos²x = 1
- Formules de duplication
Ex : sin(2x) = 2sinx cosx
Exercice guidé
Résoudre : 2cos²x – √3cosx = 0 sur [0, 2π]
Étapes :
- Factoriser : cosx(2cosx – √3) = 0
- cosx = 0 ⇒ x = π/2, 3π/2
- 2cosx – √3 = 0 ⇒ cosx = √3/2 ⇒ x = π/6, 11π/6
- Solutions : {π/6, π/2, 3π/2, 11π/6}
3. Inéquations Trigonométriques
Résoudre sin(x) > 0.5, cos(x) ≤ √2/2, tan(x) < 1
Méthode de résolution
- Résoudre l’équation associée
- Tracer le cercle trigo
- Déterminer les intervalles solutions
- Ajouter la périodicité
Exemple : sin(x) ≥ 1/2
Solutions : [π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ], k∈ℤ
Visualisation
4. Applications Technologiques
Ingénierie électrique
Résolution d’équations pour déterminer les phases et synchroniser les signaux.
Robotique
Détermination des angles optimaux pour le mouvement des articulations robotiques.
Problème pratique
Un courant alternatif a pour équation I(t) = 5sin(100πt). Trouver les premiers instants t > 0 où I(t) = 2.5A.
Résolution :
5sin(100πt) = 2.5 ⇒ sin(100πt) = 0.5
100πt = π/6 + 2kπ ou 5π/6 + 2kπ
t = 1/600 + k/50 ou t = 5/600 + k/50
Solutions :
t₁ ≈ 0.00167s (1/600)
t₂ ≈ 0.00833s (5/600)
Période : 0.02s (1/50)
