L’Ordre dans l’Ensemble des Réels ℝ
Tronc Commun Science
Introduction
Dans l’ensemble des nombres réels ℝ, la relation d’ordre permet de comparer les nombres et de définir des intervalles. C’est la base de la résolution des inéquations et de l’étude des fonctions.
Notation
≤ (inférieur ou égal)
≥ (supérieur ou égal)
Propriétés
Transitivité
Antisymétrie
Totalité
Applications
Inéquations
Optimisation
Intervalles
1. Relation d’Ordre dans ℝ
∀a,b,c ∈ ℝ : a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
Propriétés Fondamentales
- Réflexivité : ∀a ∈ ℝ, a ≤ a
- Antisymétrie : a ≤ b et b ≤ a ⇒ a = b
- Transitivité : a ≤ b et b ≤ c ⇒ a ≤ c
- Ordre total : ∀a,b ∈ ℝ, a ≤ b ou b ≤ a
Représentation sur la Droite Réelle
Comparaison interactive :
a =
b =
2 ≤ 5
2. Opérations et Inégalités
Addition/Soustraction
Si a ≤ b alors ∀c ∈ ℝ :
\[ a + c \leq b + c \] \[ a – c \leq b – c \]Multiplication/Division
Si a ≤ b alors :
• Pour c > 0 : ac ≤ bc et a/c ≤ b/c
• Pour c < 0 : ac ≥ bc et a/c ≥ b/c
Exemple :
3 ≤ 5 :
×2 → 6 ≤ 10 (conserve)
×(-1) → -3 ≥ -5 (inverse)
3. Intervalles dans ℝ
Types d’Intervalles
| Notation | Représentation |
|---|---|
| [a, b] | Fermé |
| ]a, b[ | Ouvert |
| [a, +∞[ | Illimité |
Exemple : [2, 5[ = {x ∈ ℝ | 2 ≤ x < 5}
Visualisation
Créer un intervalle :
4. Applications Pratiques
Résolution d’Inéquations
Résoudre : 3x – 2 ≤ 7
1. Ajouter 2 : 3x ≤ 9
2. Diviser par 3 : x ≤ 3
Solution : ]-∞, 3]
Optimisation Technique
En conception technique, on cherche souvent à :
- Maximiser une performance
- Minimiser un coût
- Respecter des contraintes
Exemple :
Trouver x tel que :
10 ≤ x ≤ 20 (contrainte technique)
Coût = 3x → à minimiser
5. Exercices Pratiques
Exercice 1
Résoudre et représenter : -2x + 5 < 11
Exercice 2
Déterminer l’intervalle correspondant à :
2 ≤ x < 7 ou x ≥ 10
