Ordre et Opérations dans les Nombres
1. Comparaison des Nombres
Comparer deux nombres signifie déterminer lequel est le plus grand, le plus petit, ou s’ils sont égaux.
Méthode de comparaison :
- Pour les nombres positifs :
- Comparer d’abord les parties entières
- Si les parties entières sont égales, comparer les chiffres des dixièmes
- Si les dixièmes sont égaux, comparer les centièmes, etc.
- Pour les nombres négatifs :
- Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif
- Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue
2. Exemples de Comparaison
Exemple 1 : Nombres positifs
Comparons 12,45 et 12,5 :
- Parties entières égales (12 = 12)
- Dixièmes : 4 < 5 donc 12,45 < 12,5
Exemple 2 : Nombres négatifs
Comparons -3,2 et -3,1 :
- 3,2 > 3,1 donc -3,2 < -3,1
- Sur la droite numérique, -3,1 est à droite de -3,2
3. Opérations et Inégalités
Les opérations mathématiques affectent les inégalités de différentes manières :
Addition et Soustraction
Si a < b, alors pour tout nombre c :
a + c < b + c
a – c < b – c
L’ordre est conservé lorsqu’on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres.
Exemple : Si 3 < 5, alors 3 + 2 < 5 + 2 (5 < 7)
Multiplication et Division
Si a < b, alors :
- Pour c > 0 : a × c < b × c et a ÷ c < b ÷ c
- Pour c < 0 : a × c > b × c et a ÷ c > b ÷ c
L’ordre est inversé lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Exemple 1 : Si 4 < 6, alors 4 × 2 < 6 × 2 (8 < 12)
Exemple 2 : Si 4 < 6, alors 4 × (-2) > 6 × (-2) (-8 > -12)
4. Pièges et Erreurs Fréquentes
- Oublier d’inverser l’inégalité lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif
- Confondre l’ordre des nombres négatifs (-5 est plus petit que -3)
- Négliger les décimales dans les comparaisons (3,14 > 3,1)
Méthode pour éviter les erreurs :
- Représenter les nombres sur une droite numérique
- Vérifier le signe du multiplicateur/diviseur
- Faire un test avec des valeurs simples
5. Applications Concrètes
Ces propriétés sont essentielles pour :
- Résoudre des inéquations
- Comparer des prix
- Étudier des variations de grandeurs
- Déterminer des intervalles
Exemple pratique :
Si un produit A coûte moins cher que B (A < B) et qu’une remise de 10% s’applique aux deux :
0,9 × A < 0,9 × B (l’ordre est conservé car on multiplie par 0,9 > 0)
