Nombres Complexes Avancés
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Racines n-ièmes de l’unité
a) Définition
Elles s’écrivent : \( \omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} \) pour \( k = 0, 1, \dots, n-1 \)
b) Propriétés
- Somme : \( \sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0 \) (car somme d’une suite géométrique de raison \( \neq 1 \))
- Produit : \( \prod_{k=0}^{n-1} \omega_k = (-1)^{n+1} \)
- Groupe multiplicatif : Elles forment un groupe cyclique d’ordre \( n \)
- Conjuguées : \( \overline{\omega_k} = \omega_{n-k} \)
2. Formule de Moivre Généralisée
\( z^\alpha = r^\alpha e^{i\alpha\theta} = r^\alpha \left[ \cos(\alpha\theta) + i\sin(\alpha\theta) \right] \)
(détermination principale, valable pour \( r > 0 \))
Application : Racines complexes
Pour \( z = re^{i\theta} \), les racines \( n \)-ièmes sont données par :
\( z_k = r^{1/n} \cdot e^{i\left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right)} \quad \text{pour } k = 0, 1, \dots, n-1 \)
Cette formule étend la notion de racine à tout exposant rationnel ou réel.
3. Transformations Complexes
a) Homographie
\( f(z) = \frac{az + b}{cz + d} \) avec \( a,b,c,d \in \mathbb{C} \), \( ad – bc \neq 0 \)
Elle transforme cercles et droites en cercles ou droites.
b) Similitude directe
C’est la composée d’une homothétie (rapport \( |\alpha| \)), d’une rotation (angle \( \arg(\alpha) \)) et d’une translation (\( +\beta \)).
La similitude \( f(z) = iz + 2 \) tourne de \( \pi/2 \) et translate de 2 vers la droite.
4. Équations Complexes Avancées
a) Équation polynomiale
Résoudre \( z^4 – (1+i)z^2 + i = 0 \)
Solution :
- Posons \( Z = z^2 \). L’équation devient : \( Z^2 – (1+i)Z + i = 0 \)
- Discriminant : \( \Delta = (1+i)^2 – 4i = 1 + 2i – 1 – 4i = -2i \)
- \( \sqrt{\Delta} = \sqrt{-2i} = 1 – i \) (ou \( -1 + i \))
- Solutions en \( Z \) : \( Z = \frac{1+i \pm (1-i)}{2} \Rightarrow Z_1 = 1 \), \( Z_2 = i \)
- Résolvons :
- \( z^2 = 1 \Rightarrow z = \pm 1 \)
- \( z^2 = i \Rightarrow z = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) \)
Solutions finales : \( z = \pm 1 \), \( z = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) \)
b) Équation fonctionnelle
Trouver \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) holomorphe telle que \( f(z+1) = f(z) \) et \( f(z+i) = f(z) \)
Solution :
Une telle fonction est doublement périodique (périodes 1 et \( i \)). Sur \( \mathbb{C} \), les seules fonctions holomorphes doublement périodiques sont **constantes** (théorème de Liouville).
Conclusion : Les seules solutions sont les fonctions constantes.
5. Exercices Avancés
Exercice 1 : Montrer que \( \sum_{k=0}^{n-1} \sin\left(\theta + \frac{2k\pi}{n}\right) = 0 \)
Solution :
Considérons la somme complexe : \( S = \sum_{k=0}^{n-1} e^{i(\theta + 2k\pi/n)} = e^{i\theta} \sum_{k=0}^{n-1} \omega_k \) où \( \omega_k = e^{i2k\pi/n} \)
Comme \( \sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0 \) (somme des racines \( n \)-ièmes de l’unité), alors \( S = 0 \)
Donc la partie imaginaire : \( \Im(S) = \sum_{k=0}^{n-1} \sin\left(\theta + \frac{2k\pi}{n}\right) = 0 \)
Exercice 2 : Résoudre \( z^3 = \overline{z} \) dans \( \mathbb{C} \)
Solution :
Soit \( z = re^{i\theta} \), alors \( \overline{z} = re^{-i\theta} \)
L’équation : \( r^3 e^{i3\theta} = r e^{-i\theta} \)
Si \( r = 0 \), alors \( z = 0 \)
Si \( r > 0 \), on simplifie : \( r^2 e^{i4\theta} = 1 \Rightarrow r^2 = 1 \) et \( 4\theta = 0 \mod 2\pi \)
Donc \( r = 1 \), \( \theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} \)
Solutions : \( z = 0, 1, i, -1, -i \)
Exercice 3 : Déterminer l’image du cercle unité par \( f(z) = \frac{z+i}{z-i} \)
Solution :
Soit \( |z| = 1 \), donc \( z = e^{i\theta} \)
Calculons \( w = f(z) = \frac{e^{i\theta} + i}{e^{i\theta} – i} \)
On montre que \( \overline{w} = \frac{1}{w} \), donc \( |w| = 1 \) ? Non.
En fait, on peut montrer que \( f \) envoie le cercle unité sur **la droite imaginaire pure**.
Autre méthode : \( f(i) = \infty \), \( f(-i) = 0 \), \( f(1) = \frac{1+i}{1-i} = i \), \( f(-1) = \frac{-1+i}{-1-i} = -i \)
Donc l’image est contenue dans l’axe imaginaire. En réalité, c’est **l’axe imaginaire privé de 1**.
Résultat : L’image est \( i\mathbb{R} \) (l’axe imaginaire).
