🔁 Symétrie Centrale
1ère Année Collège (1AC)
📌 Introduction
La symétrie centrale est une transformation géométrique par rapport à un point appelé centre de symétrie.
Le symétrique d’un point \( A \) par rapport à un point \( O \) est un point \( A’ \) tel que :
\( O \) est le milieu du segment \([AA’]\)
Objectif : Savoir construire le symétrique d’un point, d’un segment, ou d’une figure par rapport à un point.
🧩 Propriétés
• Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
• Le symétrique d’un angle est un angle de même mesure.
• Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon.
• Le centre de symétrie est le milieu du segment reliant un point à son symétrique.
Remarque : La symétrie centrale conserve les distances et les angles.
🖼️ Illustration : Symétrique d’un point
Voici un point \( A \) et son symétrique \( A’ \) par rapport au centre \( O \) :
\( O \) est le milieu de \([AA’]\).
Donc : \( AO = OA’ \)
✏️ Exercice 1 : Symétrique d’un point
1. Si \( O \) est le milieu de \([AA’]\), alors \( A’ \) est le symétrique de \( A \) par rapport à →
2. Le symétrique de \( B \) par rapport à \( O \) est \( B’ \). Alors \( O \) est le ___ de \([BB’]\) →
3. Si \( A \) est à 4 cm de \( O \), alors \( A’ \) est à ___ cm de \( O \) →
4. Le symétrique de \( O \) par rapport à \( O \) est →
5. Si \( AB = 6 \) cm, alors son symétrique \( A’B’ = \) → cm
1. Par définition.
2. Le centre est toujours le milieu.
3. Symétrie conserve les distances.
4. Le point O est invariant.
5. La longueur est conservée.
✏️ Exercice 2 : Construction
1. Pour construire \( A’ \), symétrique de \( A \) par rapport à \( O \), on prolonge \([AO]\) jusqu’à ce que →
2. Si \( AO = 5 \) cm, alors \( OA’ = \) → cm
3. Le segment \([AA’]\) a pour milieu →
4. Le symétrique d’un segment est un segment →
5. Le symétrique d’un cercle est un →
• On reporte la même distance de l’autre côté.
• La symétrie centrale conserve les formes.
✏️ Exercice 3 : Vrai ou Faux
1. Le symétrique d’un point est toujours différent →
2. Le centre de symétrie est son propre symétrique →
3. La symétrie centrale change la longueur →
4. Le symétrique d’un angle droit est un angle aigu →
5. Deux points symétriques sont à égale distance du centre →
1. Faux : si c’est le centre, il est invariant.
2. Vrai : O’ = O.
3. Faux : elle conserve les longueurs.
4. Faux : un angle droit reste droit.
5. Vrai : par définition du milieu.
✏️ Exercice 4 : Milieu
1. Si \( A’ \) est le symétrique de \( A \) par rapport à \( O \), alors \( O \) est le milieu de →
2. Si \( O \) est le milieu de \([BB’]\), alors \( B’ \) est le symétrique de \( B \) par rapport à →
3. Si \( AB = A’B’ \), c’est parce que la symétrie conserve la →
4. Le symétrique d’un triangle est un triangle →
5. Si \( \widehat{C} = 50^\circ \), son symétrique mesure → °
• La symétrie centrale conserve : longueurs, angles, formes.
• Le centre est le milieu du segment reliant un point à son image.
✏️ Exercice 5 : Problèmes
1. \( A \) est à 7 cm de \( O \). \( A’ \) est à ___ cm de \( O \) →
2. \( AB = 9 \) cm. \( A’B’ = \) → cm
3. \( \widehat{A} = 120^\circ \). Son symétrique mesure → °
4. Le symétrique d’un carré est un →
5. Le symétrique d’un segment \([CD]\) est un segment →
La symétrie centrale conserve :
• Les distances
• Les angles
• Les formes géométriques
✏️ Exercice 6 : Compléter
1. Le point ___ est son propre symétrique →
2. \( O \) est le milieu de \([MM’]\) → \( M’ \) est le symétrique de \( M \) par rapport à →
3. Si \( A’B’ = 11 \) cm, alors \( AB = \) → cm
4. Le symétrique d’un rectangle est un →
5. La symétrie centrale ne change pas la →
• Le centre est invariant.
• Toutes les mesures sont conservées.
• La figure image est identique à l’originale.
✏️ Exercice 7 : Construction d’un segment
1. Le symétrique d’un segment est un segment →
2. Si \([AB]\) est horizontal, son symétrique est →
3. Pour construire le symétrique de \([AB]\), on construit les symétriques de →
4. Si \( A \) est à 3 cm de \( O \), alors \( A’ \) est à ___ cm →
5. Le symétrique d’un segment passant par \( O \) →
• On construit \( A’ \) et \( B’ \), puis on trace \([A’B’]\).
• Si le segment passe par \( O \), son symétrique aussi.
✏️ Exercice 8 : Figure symétrique
1. Le symétrique d’un triangle est un →
2. Le symétrique d’un cercle est un →
3. Le symétrique d’un carré est un →
4. Le symétrique d’un losange est un →
5. Le symétrique d’un angle est un angle →
La symétrie centrale conserve la nature des figures.
Un triangle reste un triangle, etc.
✏️ Exercice 9 : Centre de symétrie
1. Le centre de symétrie est noté →
2. Le symétrique de \( O \) est →
3. Si \( A \) et \( A’ \) sont symétriques, alors \( O \) est sur →
4. La distance \( AO \) est égale à →
5. Le segment \([AA’]\) a pour milieu →
\( O \) est le milieu de \([AA’]\), donc :
• \( AO = OA’ \)
• \( O \in [AA’] \)
✏️ Exercice 10 : Révision Générale
1. Le symétrique d’un point \( A \) par rapport à \( O \) est \( A’ \). Alors \( O \) est le ___ de \([AA’]\) →
2. La symétrie centrale conserve les →
3. Le symétrique d’un segment de 8 cm mesure → cm
4. Le symétrique d’un angle de 45° mesure → °
5. Le centre \( O \) est son propre →
• \( O \) est le milieu.
• Les mesures sont conservées.
• \( O \) est invariant.
