🔺 Droites Remarquables d’un Triangle
1ère Année Collège (1AC)
📌 Introduction
Dans un triangle, on peut tracer plusieurs droites remarquables qui ont des propriétés spéciales :
- Médiane : du sommet au milieu du côté opposé.
- Hauteur : du sommet perpendiculairement au côté opposé.
- Bissectrice : partage un angle en deux angles égaux.
- Médiatrice : perpendiculaire passant par le milieu d’un côté.
Objectif : Reconnaître et utiliser ces droites dans les constructions géométriques.
📏 Médiane
La médiane issue d’un sommet est la droite qui relie ce sommet au milieu du côté opposé.
Exemple : Dans \( \triangle ABC \), la médiane issue de A coupe [BC] en son milieu.
Propriété : Les trois médianes se coupent en un seul point : le centre de gravité.
🔺 Hauteur
La hauteur issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Exemple : Hauteur issue de A ⊥ à [BC].
Attention : La hauteur peut être à l’extérieur du triangle (dans le cas d’un angle obtus).
🔶 Bissectrice
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
Exemple : La bissectrice de \( \widehat{A} \) divise l’angle en deux parties égales.
Propriété : Le point d’intersection des bissectrices est le centre du cercle inscrit.
📏 Médiatrice
La médiatrice d’un côté est la droite perpendiculaire à ce côté et passant par son milieu.
Elle ne passe pas nécessairement par un sommet.
Propriété : Le point d’intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit.
✅ Exercice 1 : Vocabulaire
1. Relie le sommet au milieu du côté opposé →
2. Perpendiculaire au côté opposé →
3. Partage un angle en deux parties égales →
4. Passe par le milieu d’un côté et est perpendiculaire →
5. Centre de gravité → intersection des →
✅ Exercice 2 : Hauteur
1. La hauteur est toujours à l’intérieur du triangle →
2. Elle est perpendiculaire au côté opposé →
3. Elle peut être extérieure →
4. Issue de A, elle coupe →
5. Intersection des hauteurs →
✅ Exercice 3 : Médiane
1. La médiane va du sommet au ___ du côté opposé →
2. Elle est toujours à l’intérieur du triangle →
3. Intersection des médianes →
4. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi →
5. Peut-elle être égale à une hauteur ? →
✅ Exercice 4 : Bissectrice
1. La bissectrice partage un angle en →
2. Elle passe par un sommet →
3. Centre du cercle inscrit → intersection des →
4. Dans un triangle équilatéral, les bissectrices sont aussi →
5. Peut-elle être perpendiculaire ? →
✅ Exercice 5 : Médiatrice
1. Passe par le milieu d’un côté →
2. Est perpendiculaire au côté →
3. Centre du cercle circonscrit → intersection des →
4. Peut-elle passer par un sommet ? →
5. Dans un triangle rectangle, elle passe par →
✅ Exercice 6 : Problèmes
1. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi →
2. Dans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables →
3. Le centre de gravité est-il au milieu des médianes ? →
4. Peut-on tracer une médiatrice sans compas ? →
5. L’orthocentre peut-il être à l’extérieur ? →
✅ Exercice 7 : Vrai ou Faux
1. La hauteur est perpendiculaire →
2. La médiane partage l’angle en deux →
3. La bissectrice passe par le milieu →
4. La médiatrice passe par un sommet →
5. Les médiatrices se coupent au centre du cercle inscrit →
✅ Exercice 8 : Notation
1. Médiane issue de A → coupe [BC] en →
2. Hauteur issue de B → perpendiculaire à →
3. Bissectrice de \( \widehat{C} \) → partage l’angle en deux →
4. Médiatrice de [AB] → passe par son →
5. Orthocentre → intersection des →
✅ Exercice 9 : Construction
1. Pour tracer une médiatrice, on utilise →
2. Pour une hauteur, on utilise souvent →
3. Pour une bissectrice, on peut utiliser →
4. La médiane nécessite de trouver le →
5. On trace des arcs pour trouver le milieu avec →
✅ Exercice 10 : Révision Générale
1. Centre de gravité → intersection des →
2. Cercle inscrit → centre aux →
3. Cercle circonscrit → centre aux →
4. Hauteur → perpendiculaire au →
5. Médiane → relie le sommet au →
