🔢 Les Suites Numériques
1ère Bac Sciences Expérimentalles SEx
🎯 Introduction
Une suite numérique est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) :
\( u: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \)
\( n \mapsto u(n) = u_n \)
Représentation d’une suite
1. Définition et Modes de Génération
Suite explicite
\(u_n = f(n)\)
Exemple : \(u_n = 2n + 1\)
Suite récurrente
\(u_{n+1} = f(u_n)\)
Exemple : \(u_{n+1} = 2u_n + 3\)
Suite arithmétique
\(u_{n+1} = u_n + r\) (raison r)
Formule explicite : \(u_n = u_0 + n \times r\)
2. Sens de Variation
Méthodes d’étude :
- Signe de \(u_{n+1} – u_n\)
- Pour \(u_n = f(n)\), étudier les variations de f
- Par récurrence
Exemple :
Soit \(u_n = \frac{n}{n+1}\). Étudier les variations.
Solution :
\(u_{n+1} – u_n = \frac{n+1}{n+2} – \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 – n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)} > 0\)
⇒ Suite strictement croissante
3. Limites des Suites
| Type | Forme | Limite |
|---|---|---|
| Arithmétique | \(u_n = u_0 + nr\) | \(\pm\infty\) (selon r) |
| Géométrique | \(u_n = u_0 \times q^n\) | Selon q |
| Suite bornée | \(|u_n| ≤ M\) | Converge ou non |
4. Suites Géométriques
Définition
\(u_{n+1} = u_n \times q\) (raison q)
Formule explicite :
\(u_n = u_0 \times q^n\)
Somme des termes
\(\sum_{k=0}^n u_k = u_0 \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\) (si q ≠ 1)
Sinon : \(u_0 \times (n+1)\)
Exemple :
Placement bancaire à 5% par an : \(u_n = 1000 \times 1.05^n\)
Après 10 ans : \(u_{10} = 1000 \times 1.05^{10} ≈ 1629€\)
🔄 Exercice Interactif
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 0.5u_n + 3\).
1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\) : ,
2. La suite est :
3. Si convergente, sa limite est :
