Exercices d’Arithmétique Avancée
2ème BAC Sciences Mathématiques
Exercice 1 : Division Euclidienne
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 2023 par 17.
- Quelle est la définition de la division euclidienne ?
- Comment vérifier que le reste est correct ?
- Quel est le quotient entier de 2023 ÷ 17 ?
- Pourquoi le reste doit-il être strictement inférieur au diviseur ?
- Si on divise 2024 par 17, quel serait le nouveau reste ?
Par divisions successives :
2023 = 17×119 + 0
Quotient = 119, Reste = 0
Solutions des questions :
- Pour a,b ∈ ℤ avec b > 0, il existe un unique couple (q,r) tel que a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
- Le reste doit être positif et strictement inférieur au diviseur (0 ≤ r < 17).
- 2023 ÷ 17 = 119 exactement, donc le quotient est 119.
- C’est une condition fondamentale de la division euclidienne pour assurer l’unicité du quotient et du reste.
- 2024 = 17×119 + 1, donc le reste serait 1.
Exercice 2 : PGCD par Euclide
Calculer PGCD(252, 198) en utilisant l’algorithme d’Euclide.
- Quel est le principe de l’algorithme d’Euclide ?
- Pourquoi l’algorithme se termine-t-il toujours ?
- Quel est le PGCD de deux nombres consécutifs ?
- Comment utiliser le PGCD pour simplifier une fraction ?
- Si PGCD(a,b) = d, que peut-on dire de PGCD(a/d, b/d) ?
| a | b | r |
|---|---|---|
| 252 | 198 | 54 |
| 198 | 54 | 36 |
| 54 | 36 | 18 |
| 36 | 18 | 0 |
PGCD(252, 198) = 18
Solutions des questions :
- PGCD(a,b) = PGCD(b, a mod b) jusqu’à ce que le reste soit nul.
- Les restes forment une suite strictement décroissante d’entiers positifs, donc elle atteint nécessairement 0.
- Le PGCD de deux nombres consécutifs est toujours 1 car ils sont premiers entre eux.
- En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
- PGCD(a/d, b/d) = 1, les nombres deviennent premiers entre eux.
Exercice 3 : Théorème de Bézout
Trouver une solution particulière de l’équation : 23x + 17y = 1
- Qu’énonce le théorème de Bézout ?
- Pourquoi cette équation admet-elle des solutions ?
- Comment remonter l’algorithme d’Euclide ?
- Quelle est la solution générale de cette équation ?
- Peut-on trouver une solution avec x et y positifs ?
En remontant l’algorithme d’Euclide :
23 = 17×1 + 6
17 = 6×2 + 5
6 = 5×1 + 1 → 1 = 6 – 5×1
On trouve : 23×3 + 17×(-4) = 1
(x₀, y₀) = (3, -4)
Solutions des questions :
- Deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1.
- Parce que PGCD(23,17) = 1, donc 23 et 17 sont premiers entre eux.
- En exprimant chaque reste en fonction des nombres précédents jusqu’à obtenir 1 comme combinaison linéaire.
- x = 3 + 17k, y = -4 – 23k pour k ∈ ℤ.
- Non, car si x > 0 alors y < 0, et vice versa, puisque 23x + 17y = 1.
Exercice 4 : Nombres Premiers
Décomposer 420 en produit de facteurs premiers.
- Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
- Pourquoi la décomposition en facteurs premiers est-elle unique ?
- Quels sont les critères de divisibilité par 2, 3, et 5 ?
- Combien de diviseurs positifs a 420 ?
- Quel est le plus petit nombre ayant exactement les mêmes facteurs premiers que 420 ?
420 = 2² × 3 × 5 × 7
Solutions des questions :
- Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
- C’est le théorème fondamental de l’arithmétique qui garantit l’unicité de la décomposition.
- Par 2 : chiffre des unités pair. Par 3 : somme des chiffres divisible par 3. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5.
- Avec 420 = 2²×3×5×7, le nombre de diviseurs est (2+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 24 diviseurs.
- Le plus petit est 2×3×5×7 = 210.
Exercice 5 : Congruences
Résoudre dans ℤ : 5x ≡ 3 [7]
- Qu’est-ce qu’une congruence modulo n ?
- Pourquoi 5 admet-il un inverse modulo 7 ?
- Comment trouver l’inverse d’un nombre modulo n ?
- Quelle est la différence entre une équation diophantienne et une congruence ?
- Combien y a-t-il de solutions modulo 7 ?
1. Trouver l’inverse de 5 modulo 7 :
5×3 = 15 ≡ 1 [7] ⇒ inverse = 3
2. Multiplier les deux côtés par 3 :
x ≡ 9 [7] ⇒ x ≡ 2 [7]
Solution : x = 7k + 2, k ∈ ℤ
Solutions des questions :
- Deux entiers a et b sont congrus modulo n si n divise (a-b), noté a ≡ b [n].
- Parce que PGCD(5,7) = 1, donc 5 et 7 sont premiers entre eux.
- En résolvant ax ≡ 1 [n] ou en utilisant l’algorithme d’Euclide étendu.
- Une équation diophantienne cherche des solutions entières, tandis qu’une congruence cherche des solutions modulo n.
- Il y a exactement une solution modulo 7, car le coefficient de x est inversible modulo 7.
Exercice 6 : Théorème de Gauss
Montrer que si 7 divise 3n, alors 7 divise n.
- Qu’énonce le théorème de Gauss ?
- Pourquoi PGCD(7,3) = 1 est-il crucial ici ?
- Donner un contre-exemple si les nombres ne sont pas premiers entre eux.
- Comment le théorème de Gauss se relie-t-il au lemme d’Euclide ?
- Peut-on généraliser ce résultat à d’autres nombres premiers ?
Par le théorème de Gauss :
7 | 3n et PGCD(7,3) = 1 ⇒ 7 | n
Solutions des questions :
- Si a divise bc et PGCD(a,b) = 1, alors a divise c.
- C’est la condition nécessaire pour appliquer le théorème de Gauss.
- Si 6 divise 4×3 = 12, mais 6 ne divise ni 4 ni 3, car PGCD(6,4) = 2 ≠ 1.
- Le lemme d’Euclide est un cas particulier du théorème de Gauss quand a est premier.
- Oui, si p est premier et p divise ab, alors p divise a ou p divise b.
Exercice 7 : PPCM
Calculer PPCM(72, 120) en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
- Qu’est-ce que le PPCM de deux nombres ?
- Quelle relation existe entre PGCD et PPCM ?
- Pourquoi prend-on les plus grands exposants dans la décomposition ?
- Quel est le PPCM de deux nombres premiers entre eux ?
- Comment utiliser le PPCM pour résoudre des problèmes de périodicité ?
Décomposition :
72 = 2³ × 3²
120 = 2³ × 3 × 5
PPCM = Produit des facteurs avec les plus grands exposants :
PPCM = 2³ × 3² × 5 = 360
Solutions des questions :
- Le plus petit commun multiple est le plus petit entier positif divisible par les deux nombres.
- Pour tous entiers a,b : PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = |ab|.
- Pour que le PPCM soit divisible par chaque nombre, il faut inclure chaque facteur premier avec son plus grand exposant.
- Le PPCM de deux nombres premiers entre eux est leur produit.
- Le PPCM donne la période commune de deux phénomènes périodiques de périodes différentes.
Exercice 8 : Équation Diophantienne
Résoudre dans ℤ² : 15x + 25y = 40
- Qu’est-ce qu’une équation diophantienne ?
- Quelle condition doit satisfaire une équation ax + by = c pour avoir des solutions ?
- Comment simplifier une équation diophantienne ?
- Pourquoi la solution générale contient-elle un paramètre entier ?
- Combien y a-t-il de solutions positives à cette équation ?
1. Simplifier par 5 : 3x + 5y = 8
2. Solution particulière : (x₀,y₀) = (1,1)
3. Solution générale :
x = 1 + 5k
y = 1 – 3k, k ∈ ℤ
Solutions des questions :
- Une équation polynomiale à coefficients entiers dont on cherche les solutions entières.
- PGCD(a,b) doit diviser c.
- En divisant tous les coefficients par leur PGCD commun.
- Parce qu’il existe une infinité de solutions, toutes obtenues à partir d’une solution particulière.
- Aucune, car pour k ≥ 0, y = 1 – 3k ≤ 1, et pour k ≤ -1, x = 1 + 5k ≤ -4.
Exercice 9 : Critères de Divisibilité
Montrer que pour tout n ∈ ℕ, 9 divise 10ⁿ – 1.
- Quel est le critère de divisibilité par 9 ?
- Pourquoi la récurrence est-elle adaptée ici ?
- Comment utiliser les congruences pour démontrer ce résultat ?
- Quelle est la somme des chiffres de 10ⁿ – 1 ?
- Ce résultat reste-t-il vrai pour d’autres bases que 10 ?
Par récurrence :
Initialisation : Pour n=0 : 10⁰-1=0 divisible par 9
Hérédité : Supposons 9|10ᵏ-1
10ᵏ⁺¹-1 = 10×10ᵏ – 1 = 9×10ᵏ + (10ᵏ-1)
Les deux termes sont divisibles par 9
On peut aussi utiliser 10 ≡ 1 [9] ⇒ 10ⁿ ≡ 1ⁿ [9]
Solutions des questions :
- Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
- Parce que la propriété dépend d’un entier naturel n et qu’on peut établir un lien entre n et n+1.
- Puisque 10 ≡ 1 [9], alors 10ⁿ ≡ 1ⁿ = 1 [9], donc 10ⁿ – 1 ≡ 0 [9].
- 10ⁿ – 1 = 999…9 (n chiffres 9), donc la somme des chiffres est 9n, divisible par 9.
- Oui, dans toute base b, (b-1) divise bⁿ – 1 pour tout n ∈ ℕ.
Exercice 10 : Nombres Premiers Entre Eux
Montrer que pour tout n ∈ ℕ, n et n+1 sont premiers entre eux.
- Qu’est-ce que deux nombres premiers entre eux ?
- Pourquoi deux nombres consécutifs ne peuvent-ils pas avoir de diviseur commun > 1 ?
- Comment l’identité de Bézout démontre-t-elle ce résultat ?
- Ce résultat s’étend-il à n et n+2 ?
- Quel est le PGCD de trois nombres consécutifs ?
Par l’identité de Bézout :
(n+1)×1 + n×(-1) = 1
Donc PGCD(n,n+1) = 1
Solutions des questions :
- Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
- Si d divise n et n+1, alors d divise (n+1)-n = 1, donc d = 1.
- L’identité (n+1)×1 + n×(-1) = 1 montre directement que PGCD(n,n+1) = 1.
- Non, par exemple PGCD(2,4) = 2. Cela dépend de la parité de n.
- Le PGCD de trois nombres consécutifs est toujours 1.
Pingback: مادة الرياضيات شعبة العلوم الرياضية ـ أ ـ السنة الثانية بكالوريا 2Bac SMA – موقع التعليم الرائد