Exercices d’Arithmétique Avancée
2ème BAC Sciences Mathématiques
Exercice 1 : Division Euclidienne
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 2023 par 17.
Par divisions successives :
2023 = 17×119 + 0
Quotient = 119, Reste = 0
Exercice 2 : PGCD par Euclide
Calculer PGCD(252, 198) en utilisant l’algorithme d’Euclide.
| a | b | r |
|---|---|---|
| 252 | 198 | 54 |
| 198 | 54 | 36 |
| 54 | 36 | 18 |
| 36 | 18 | 0 |
PGCD(252, 198) = 18
Exercice 3 : Théorème de Bézout
Trouver une solution particulière de l’équation : 23x + 17y = 1
En remontant l’algorithme d’Euclide :
23 = 17×1 + 6
17 = 6×2 + 5
6 = 5×1 + 1 → 1 = 6 – 5×1
On trouve : 23×3 + 17×(-4) = 1
Exercice 4 : Nombres Premiers
Décomposer 420 en produit de facteurs premiers.
420 = 2² × 3 × 5 × 7
Exercice 5 : Congruences
Résoudre dans ℤ : 5x ≡ 3 [7]
1. Trouver l’inverse de 5 modulo 7 :
5×3 = 15 ≡ 1 [7] ⇒ inverse = 3
2. Multiplier les deux côtés par 3 :
x ≡ 9 [7] ⇒ x ≡ 2 [7]
Solution : x = 7k + 2, k ∈ ℤ
Exercice 6 : Théorème de Gauss
Montrer que si 7 divise 3n, alors 7 divise n.
Par le théorème de Gauss :
7 | 3n et PGCD(7,3) = 1 ⇒ 7 | n
Exercice 7 : PPCM
Calculer PPCM(72, 120) en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
Décomposition :
72 = 2³ × 3²
120 = 2³ × 3 × 5
PPCM = Produit des facteurs avec les plus grands exposants :
PPCM = 2³ × 3² × 5 = 360
Exercice 8 : Équation Diophantienne
Résoudre dans ℤ² : 15x + 25y = 40
1. Simplifier par 5 : 3x + 5y = 8
2. Solution particulière : (x₀,y₀) = (1,1)
3. Solution générale :
x = 1 + 5k
y = 1 – 3k, k ∈ ℤ
Exercice 9 : Critères de Divisibilité
Montrer que pour tout n ∈ ℕ, 9 divise 10ⁿ – 1.
Par récurrence :
Initialisation : Pour n=0 : 10⁰-1=0 divisible par 9
Hérédité : Supposons 9|10ᵏ-1
10ᵏ⁺¹-1 = 10×10ᵏ – 1 = 9×10ᵏ + (10ᵏ-1)
Les deux termes sont divisibles par 9
On peut aussi utiliser 10 ≡ 1 [9] ⇒ 10ⁿ ≡ 1ⁿ [9]
Exercice 10 : Nombres Premiers Entre Eux
Montrer que pour tout n ∈ ℕ, n et n+1 sont premiers entre eux.
Par l’identité de Bézout :
(n+1)×1 + n×(-1) = 1
Donc PGCD(n,n+1) = 1
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