Équations Différentielles
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Définitions et Classification
a) Équation différentielle
Une équation différentielle est une relation entre une fonction inconnue \( y(x) \), sa variable \( x \), et ses dérivées successives \( y’, y”, \dots \).
b) Types principaux
- Ordre 1 : contient \( y’ \), pas de dérivée d’ordre supérieur
- Linéaire : de la forme \( a(x)y’ + b(x)y = c(x) \)
- À variables séparables : peut s’écrire \( y’ = f(x)g(y) \)
2. Équations à Variables Séparables
Forme générale :
Exemple résolu
Résoudre \( y’ = xy \) (avec \( y \neq 0 \)) :
- Séparation des variables : \( \frac{dy}{y} = x\,dx \)
- Intégration : \( \int \frac{dy}{y} = \int x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C \)
- On exponentie : \( |y| = e^{x^2/2 + C} = e^C \cdot e^{x^2/2} \)
- Solution générale : \( y = K e^{x^2/2} \) où \( K \in \mathbb{R}^* \)
- Remarque : \( y = 0 \) est aussi solution (solution singulière)
3. Équations Linéaires d’Ordre 1
Forme standard :
Méthode de résolution
- Calculer le **facteur intégrant** : \( \mu(x) = e^{\int a(x)\,dx} \)
- Multiplier l’équation par \( \mu(x) \) : \( \mu(x)y’ + \mu(x)a(x)y = \mu(x)b(x) \)
- L’équation devient : \( \frac{d}{dx}\left( \mu(x)y \right) = \mu(x)b(x) \)
- Intégrer : \( \mu(x)y = \int \mu(x)b(x)\,dx + C \)
- Diviser par \( \mu(x) \) pour obtenir \( y \)
4. Exercices d’Application
Exercice 1 : Résoudre \( y’ = \frac{y}{x} \) pour \( x > 0 \).
Solution :
C’est une équation à variables séparables.
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \Rightarrow \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} \)
Intégrons : \( \ln|y| = \ln|x| + C \)
D’où : \( |y| = e^C |x| \Rightarrow y = Kx \) où \( K \in \mathbb{R} \)
Solution générale : \( y(x) = Kx \), \( K \in \mathbb{R} \)
Exercice 2 : Résoudre \( y’ + 2xy = x \).
Solution :
Équation linéaire : \( y’ + 2x y = x \)
Facteur intégrant : \( \mu(x) = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2} \)
Multiplication : \( e^{x^2} y’ + 2x e^{x^2} y = x e^{x^2} \)
Donc : \( \frac{d}{dx}\left( e^{x^2} y \right) = x e^{x^2} \)
Intégrons : \( e^{x^2} y = \int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)
Donc : \( y = \frac{1}{2} + C e^{-x^2} \)
Solution générale : \( y(x) = \frac{1}{2} + C e^{-x^2} \), \( C \in \mathbb{R} \)
Exercice 3 : Résoudre \( y’ = 3y \) avec condition initiale \( y(0) = 2 \).
Solution :
Équation à variables séparables : \( \frac{dy}{y} = 3\,dx \)
Intégration : \( \ln|y| = 3x + C \Rightarrow y = K e^{3x} \)
Condition initiale : \( y(0) = K = 2 \)
Solution particulière : \( y(x) = 2e^{3x} \)
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