Solution :
Vecteur directeur \( \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \)
\( \begin{cases} x = 2 – t \\ y = -1 + t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \) (t ∈ ℝ)

Solution :
1. Vecteurs : \( \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} \), \( \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} \)
2. Produit vectoriel : \( \begin{pmatrix}-3 \\ -5 \\ -4\end{pmatrix} \)
3. Équation : \(-3(x-1) -5(y-2) -4(z-0) = 0\) ⇒ \(3x + 5y + 4z – 13 = 0\)

Solution :
1. Représentation paramétrique : \( \begin{cases}x=1+2t \\ y=-t \\ z=-2+3t\end{cases} \)
2. Substitution : \((1+2t) – (-t) + (-2+3t) = 4\) ⇒ \(6t -1 =4\) ⇒ \(t=\frac{5}{6}\)
3. Point d’intersection : \( \left(\frac{8}{3}, -\frac{5}{6}, \frac{1}{2}\right) \)

Solution :
\( d = \frac{|2×2 – (-1) + 2×3 +5|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|4+1+6+5|}{3} = \frac{16}{3} \)

Solution :
\( \vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} 2×2 – (-1)×0 \\ (-1)×3 – 1×2 \\ 1×0 – 2×3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -5 \\ -6\end{pmatrix} \)

Solution :
Vecteurs normaux : \( \vec{n_P} = \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} \), \( \vec{n_Q} = \begin{pmatrix}-4 \\ 2 \\ -6\end{pmatrix} \)
On a \( \vec{n_Q} = -2\vec{n_P} \) ⇒ plans parallèles

Solution :
1. Vecteurs : \( \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} \), \( \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix} \), \( \overrightarrow{AD} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \)
2. Produit mixte : \( \left|\begin{pmatrix}-1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\right| = 7 \)
3. Volume : \( V = \frac{7}{6} \)

Solution :
1. Vecteurs directeurs : \( \vec{u} \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} \), \( \vec{v} \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} \)
2. Points : A(1,2,3) ∈ D1, B(2,1,4) ∈ D2
3. Produit mixte : \( \overrightarrow{AB} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v}) = 0 \) ⇒ droites coplanaires

Solution :
1. Vecteur normal : \( \vec{n} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} \)
2. Droite perpendiculaire : \( \begin{cases}x=1+t \\ y=2+t \\ z=3-t\end{cases} \)
3. Intersection avec P : \( (1+t)+(2+t)-(3-t)=0 \) ⇒ \( t=0 \)
⇒ Projection : (1,2,3) (M est déjà dans P)

Solution :
1. \( \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \) non colinéaires
2. \( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \) ⇒ Aire = \( \frac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{2} \)
3. Équation : \( 2(x-1) + 0(y-0) + 2(z-1) = 0 \) ⇒ \( x + z – 2 = 0 \)