🔷 Le Parallélogramme
1ère Année Collège (1AC)
📌 Introduction
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
On le note souvent \( ABCD \), où :
- \( (AB) \parallel (CD) \)
- \( (AD) \parallel (BC) \)
Objectif : Connaître les propriétés du parallélogramme et savoir les utiliser pour résoudre des exercices.
🖼️ Illustration : Parallélogramme \(ABCD\)
\( (AB) \parallel (CD) \) et \( (AD) \parallel (BC) \)
🧩 Propriétés du Parallélogramme
• Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
• Les diagonales se coupent en leur milieu.
• Les angles opposés sont égaux.
• Les angles consécutifs sont supplémentaires (somme = 180°).
Remarque : Le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.
✏️ Exercice 1 : Côtés opposés
1. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont →
2. Si \( AB = 6 \) cm, alors \( CD = \) → cm
3. Si \( BC = 8 \) cm, alors \( AD = \) → cm
4. \( (AB) \) est parallèle à →
5. \( (AD) \) est parallèle à →
Dans un parallélogramme :
• \( AB = CD \) et \( AD = BC \)
• \( (AB) \parallel (CD) \), \( (AD) \parallel (BC) \)
✏️ Exercice 2 : Diagonales
1. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur →
2. Le point d’intersection des diagonales est le →
3. Si \( AC = 10 \) cm, alors \( AO = \) → cm
4. Si \( BD = 12 \) cm, alors \( BO = \) → cm
5. \( O \) est le milieu de →
Les diagonales se coupent en leur milieu.
Donc : \( AO = OC = \frac{AC}{2} \), \( BO = OD = \frac{BD}{2} \)
✏️ Exercice 3 : Angles
1. Dans un parallélogramme, les angles opposés sont →
2. Si \( \widehat{A} = 70^\circ \), alors \( \widehat{C} = \) → °
3. Si \( \widehat{B} = 110^\circ \), alors \( \widehat{D} = \) → °
4. \( \widehat{A} + \widehat{B} = \) → °
5. \( \widehat{B} + \widehat{C} = \) → °
• Angles opposés : égaux.
• Angles consécutifs : supplémentaires (somme = 180°).
Donc : \( \widehat{A} = \widehat{C} \), \( \widehat{B} = \widehat{D} \), \( \widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ \)
✏️ Exercice 4 : Vrai ou Faux
1. Les côtés opposés sont parallèles →
2. Les diagonales sont de même longueur →
3. Les angles opposés sont égaux →
4. Le parallélogramme a un axe de symétrie →
5. Les diagonales se coupent en leur milieu →
1. Vrai : définition.
2. Faux : pas toujours (sauf rectangle).
3. Vrai : propriété.
4. Faux : pas d’axe, mais un centre de symétrie.
5. Vrai : propriété fondamentale.
✏️ Exercice 5 : Centre de symétrie
1. Le point d’intersection des diagonales est le →
2. Ce point est appelé →
3. Il est le milieu des →
4. Si \( O \) est ce point, alors le symétrique de \( A \) est →
5. Le symétrique de \( B \) est →
\( O \) est le centre de symétrie.
Donc :
• Le symétrique de \( A \) est \( C \)
• Le symétrique de \( B \) est \( D \)
✏️ Exercice 6 : Longueurs
1. Si \( AB = 9 \) cm, alors \( CD = \) → cm
2. Si \( AD = 7 \) cm, alors \( BC = \) → cm
3. Si \( AC = 14 \) cm, alors \( AO = \) → cm
4. Si \( BD = 16 \) cm, alors \( OD = \) → cm
5. \( AB + BC + CD + DA = \) →
1. \( CD = AB = 9 \) cm
2. \( BC = AD = 7 \) cm
3. \( AO = AC/2 = 14/2 = 7 \) cm
4. \( OD = BD/2 = 16/2 = 8 \) cm
5. C’est la somme des côtés → périmètre
✏️ Exercice 7 : Angles (suite)
1. Si \( \widehat{A} = 80^\circ \), alors \( \widehat{C} = \) → °
2. Si \( \widehat{B} = 100^\circ \), alors \( \widehat{D} = \) → °
3. \( \widehat{A} + \widehat{D} = \) → °
4. \( \widehat{B} + \widehat{C} = \) → °
5. Si \( \widehat{A} = 120^\circ \), alors \( \widehat{B} = \) → °
• Angles opposés : égaux.
• Angles consécutifs : somme = 180°.
5. \( \widehat{B} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ \)
✏️ Exercice 8 : Construction
1. Pour construire un parallélogramme, il faut au moins →
2. On peut utiliser la symétrie centrale par rapport au →
3. Si on a \( A, B, D \), on trouve \( C \) par symétrie par rapport au →
4. Le milieu de \([AC]\) est le même que celui de →
5. \( C \) est le symétrique de \( A \) par rapport à →
On construit \( C \) comme le symétrique de \( A \) par rapport au milieu de \([BD]\).
Ou : le milieu de \([AC]\) = milieu de \([BD]\).
✏️ Exercice 9 : Problèmes
1. \( AB = 5 \) cm, \( BC = 4 \) cm. Périmètre = → cm
2. \( \widehat{A} = 75^\circ \). \( \widehat{C} = \) → °
3. \( AC = 18 \) cm. \( OC = \) → cm
4. Le symétrique de \( B \) par rapport à \( O \) est →
5. \( \widehat{B} = 105^\circ \). \( \widehat{A} = \) → °
1. Périmètre = \( 2 \times (5 + 4) = 18 \) cm
2. \( \widehat{C} = \widehat{A} = 75^\circ \)
3. \( OC = AC/2 = 9 \) cm
4. \( O \) est centre → \( B’ = D \)
5. \( \widehat{A} = 180^\circ – 105^\circ = 75^\circ \)
✏️ Exercice 10 : Révision Générale
1. Un parallélogramme a ses côtés opposés →
2. Les diagonales se coupent en leur →
3. Les angles opposés sont →
4. Le centre de symétrie est le point d’intersection des →
5. Le symétrique de \( A \) par rapport à \( O \) est →
• Côtés : opposés parallèles et égaux.
• Diagonales : se coupent en leur milieu.
• Angles : opposés égaux, consécutifs supplémentaires.
• Centre de symétrie : intersection des diagonales.
