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📚 Introduction aux Nombres Rationnels Mathématiques – 2ème Année Collège

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Cours Math 2éme année Collége

📚 Introduction aux Nombres Rationnels
Mathématiques – 2ème Année Collège

Introduction

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs (une fraction). Les nombres rationnels permettent de représenter des quantités non entières et sont essentiels en mathématiques.

Notation

\[ \frac{a}{b} \]

a ∈ ℤ, b ∈ ℤ*

Exemples

\[ \frac{3}{4}, -\frac{7}{2}, \frac{12}{-5} \]

Ensemble

ℚ = { a/b | a∈ℤ, b∈ℤ* }

1. Fractions Égales

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc \]

Exemple

\[ \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \text{ car } 3×8 = 4×6 \]

Pour trouver une fraction égale :

  • Multiplier numérateur et dénominateur par un même nombre non nul
  • Simplifier en divisant par le PGCD

Application

\[ \frac{6}{8} \]

2. Simplification de Fractions

Méthode

1. Trouver le PGCD du numérateur et du dénominateur

2. Diviser les deux termes par ce PGCD

\[ \frac{24}{36} = \frac{24÷12}{36÷12} = \frac{2}{3} \]

Une fraction est irréductible lorsque le PGCD est 1.

Application

\[ \frac{2}{3} \]
PGCD = 12

3. Opérations sur les Fractions

Addition

\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \]

Exemple :

\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} \]

Multiplication

\[ \frac{a}{b} × \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \]

Exemple :

\[ \frac{2}{3} × \frac{5}{7} = \frac{10}{21} \]

Calculatrice d’opérations :

/
/
\[ \frac{5}{12} \]

4. Comparaison de Fractions

Méthodes

1. Même dénominateur : Comparer les numérateurs

2. Produit en croix : Comparer a×d et b×c

3. Conversion décimale : Calculer a÷b

\[ \frac{3}{4} > \frac{5}{7} \text{ car } 3×7 = 21 > 20 = 5×4 \]

Application

/
/
\[ \frac{3}{4} > \frac{5}{7} \]