📊 Systèmes de 2 Équations à 2 Inconnues 🔍
Mathématiques – 3ème Année Collège
🧩 Introduction
Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations qui doivent être vérifiées simultanément. On cherche généralement les valeurs des inconnues (x et y) qui satisfont les deux équations à la fois.
📝 Forme générale
🎯 Solution
Couple (x₀;y₀) qui vérifie les 2 équations
💡 Interprétation
Point d’intersection de 2 droites
1. 🔄 Méthode de Substitution
🧠 Principe
On exprime une inconnue en fonction de l’autre à partir d’une équation, puis on substitue cette expression dans la seconde équation.
Exemple :
\[ \begin{cases} 2x + y = 5 \quad (1) \\ 3x – 2y = 4 \quad (2) \end{cases} \]📝 Étapes de résolution
- De (1): y = 5 – 2x
- Substituer dans (2): \[ 3x – 2(5-2x) = 4 \]
- Résoudre: \[ 3x – 10 + 4x = 4 \] \[ 7x = 14 \Rightarrow x = 2 \]
- Remplacer x=2 dans (1): \[ y = 5 – 2×2 = 1 \]
2. ➕ Méthode de Combinaison (Addition)
🧠 Principe
On combine les deux équations pour éliminer une inconnue en les additionnant après les avoir multipliées par des coefficients adéquats.
Exemple :
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \quad (1) \\ 2x – y = 1 \quad (2) \end{cases} \]📝 Étapes de résolution
- Multiplier (2) par 2: \[ 4x – 2y = 2 \quad (2′) \]
- Additionner (1) et (2′): \[ 3x + 2y + 4x – 2y = 8 + 2 \] \[ 7x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{7} \]
- Remplacer dans (2): \[ 2×\frac{10}{7} – y = 1 \] \[ y = \frac{20}{7} – 1 = \frac{13}{7} \]
3. 📈 Interprétation Graphique
🧮 Équation de droite
Chaque équation du système représente une droite dans le plan :
\[ ax + by = c \]La solution du système correspond au point d’intersection des deux droites.
Cas possibles :
- 1 solution ➔ droites sécantes
- 0 solution ➔ droites parallèles
- ∞ solutions ➔ droites confondues
📊 Représentation
4. 🏆 Applications Pratiques
💼 Problème 1 : Achat de fruits
Ahmed achète 3 pommes et 2 bananes pour 18 DH. Sara achète 2 pommes et 4 bananes pour 24 DH. Quel est le prix d’une pomme et d’une banane ?
Solution :
Soit x le prix d’une pomme, y d’une banane
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 18 \\ 2x + 4y = 24 \end{cases} \]En divisant la 2ème équation par 2 : x + 2y = 12
Par substitution : x = 12 – 2y
Remplacer dans la 1ère : 3(12-2y) + 2y = 18
Solution : Pomme = 4 DH, Banane = 3 DH
🏀 Problème 2 : Scores de basket
Une équipe a marqué 80 points avec des paniers à 2 et 3 points. S’ils ont réussi 35 paniers au total, combien de paniers de chaque type ont-ils marqués ?
Solution :
Soit x les paniers à 2 pts, y à 3 pts
\[ \begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 3y = 80 \end{cases} \]Par substitution : y = 35 – x
Remplacer : 2x + 3(35-x) = 80
Solution : 25 paniers à 2 pts, 10 à 3 pts
