📊 La Proportionnalité
1ère Année Collège (1AC)
📌 Introduction
Deux grandeurs sont proportionnelles si lorsque l’une est multipliée par un nombre, l’autre est aussi multipliée par le même nombre.
Exemple : Le prix d’un article est proportionnel à la quantité achetée.
Objectif : Reconnaître une situation de proportionnalité, utiliser un tableau, et calculer une quatrième proportionnelle.
📋 Tableau de Proportionnalité
Voici un exemple de tableau de proportionnalité :
| Nombre de stylos | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (DH) | 6 | 12 | 18 | 24 |
Le prix est proportionnel au nombre de stylos.
Remarque : Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie la 1ère ligne pour obtenir la 2ème.
Ici : \( 6 \div 2 = 3 \), donc le coefficient est 3.
🧩 Quatrième proportionnelle
On utilise souvent le produit en croix pour trouver une valeur manquante.
| A | 3 | 7 |
|---|---|---|
| B | 9 | ? |
\( ? = \dfrac{7 \times 9}{3} = 21 \)
Règle : Dans un tableau de proportionnalité :
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow a \times d = b \times c \)
✏️ Exercice 1 : Reconnaître la proportionnalité
1. Le prix d’un pain est proportionnel à son poids →
2. L’âge d’une personne est proportionnel à sa taille →
3. Le périmètre d’un carré est proportionnel à son côté →
4. Le prix d’un ticket de cinéma est proportionnel au nombre de spectateurs →
5. Le prix d’un kilogramme de pommes est proportionnel à la quantité achetée →
1. Vrai : double poids → double prix.
2. Faux : pas de relation proportionnelle.
3. Vrai : \( P = 4 \times c \).
4. Faux : le prix est fixe.
5. Vrai : plus on achète, plus on paie.
✏️ Exercice 2 : Coefficient de proportionnalité
1. Si 2 kg coûtent 10 DH, le coefficient est →
2. Si 5 crayons coûtent 15 DH, le coefficient est →
3. Si 3 litres coûtent 12 DH, le coefficient est →
4. Si 4 cahiers coûtent 20 DH, le coefficient est →
5. Si 6 heures de travail rapportent 180 DH, le coefficient est →
Coefficient = Prix / Quantité
1. \( 10 \div 2 = 5 \)
2. \( 15 \div 5 = 3 \)
3. \( 12 \div 3 = 4 \)
4. \( 20 \div 4 = 5 \)
5. \( 180 \div 6 = 30 \)
✏️ Exercice 3 : Compléter un tableau
Complète le tableau suivant (prix proportionnel à la quantité) :
| Quantité (kg) | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (DH) | 10 |
Le coefficient de proportionnalité est →
Le prix de 10 kg est → DH
Coefficient = \( 10 \div 2 = 5 \)
Donc :
• 4 kg → \( 4 \times 5 = 20 \) DH
• 6 kg → \( 6 \times 5 = 30 \) DH
• 8 kg → \( 8 \times 5 = 40 \) DH
• 10 kg → \( 10 \times 5 = 50 \) DH
✏️ Exercice 4 : Quatrième proportionnelle
Utilise le produit en croix :
| A | 3 | 9 |
|---|---|---|
| B | 6 | ? |
1. \( ? = \) →
| C | 4 | ? |
|---|---|---|
| D | 8 | 24 |
2. \( ? = \) →
| E | 5 | 15 |
|---|---|---|
| F | ? | 30 |
3. \( ? = \) →
| G | 7 | ? |
|---|---|---|
| H | 21 | 42 |
4. \( ? = \) →
| I | ? | 12 |
|---|---|---|
| J | 15 | 60 |
5. \( ? = \) →
1. \( ? = (9 \times 6) / 3 = 18 \)
2. \( ? = (4 \times 24) / 8 = 12 \)
3. \( ? = (5 \times 30) / 15 = 10 \)
4. \( ? = (7 \times 42) / 21 = 14 \)
5. \( ? = (12 \times 15) / 60 = 3 \)
✏️ Exercice 5 : Problèmes
1. 3 kg de pommes coûtent 18 DH. Combien coûtent 5 kg ? → DH
2. 4 cahiers coûtent 20 DH. Combien coûtent 7 cahiers ? → DH
3. 2 heures de travail rapportent 60 DH. Combien rapportent 5 heures ? → DH
4. 6 stylos coûtent 18 DH. Combien coûtent 10 stylos ? → DH
5. 5 litres d’essence coûtent 60 DH. Combien coûtent 8 litres ? → DH
1. \( 18 \div 3 = 6 \), \( 5 \times 6 = 30 \)
2. \( 20 \div 4 = 5 \), \( 7 \times 5 = 35 \)
3. \( 60 \div 2 = 30 \), \( 5 \times 30 = 150 \)
4. \( 18 \div 6 = 3 \), \( 10 \times 3 = 30 \)
5. \( 60 \div 5 = 12 \), \( 8 \times 12 = 96 \)
✏️ Exercice 6 : Vrai ou Faux
1. Dans une situation de proportionnalité, le graphique est une droite →
2. Le coefficient de proportionnalité est le prix d’une unité →
3. Si 2 objets coûtent 10 DH, 4 objets coûtent 20 DH →
4. Le périmètre d’un rectangle est proportionnel à sa longueur →
5. Le prix d’un forfait internet est proportionnel à la vitesse →
1. Vrai : passage par l’origine.
2. Vrai : coefficient = prix unitaire.
3. Vrai : double quantité → double prix.
4. Faux : dépend aussi de la largeur.
5. Faux : pas forcément proportionnel.
✏️ Exercice 7 : Tableau incomplet
Complète le tableau (situation de proportionnalité) :
| Temps (h) | 2 | 4 | ? | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Distance (km) | 60 | ? | 150 | ? |
1. Distance pour 4 h : km
2. Temps pour 150 km : h
3. Distance pour 8 h : km
4. Coefficient :
5. Vitesse : km/h
Coefficient = \( 60 \div 2 = 30 \) km/h
• 4 h → \( 4 \times 30 = 120 \) km
• 150 km → \( 150 \div 30 = 5 \) h
• 8 h → \( 8 \times 30 = 240 \) km
✏️ Exercice 8 : Problèmes
1. 5 kg de sucre coûtent 30 DH. Combien coûtent 8 kg ? → DH
2. 3 cahiers coûtent 18 DH. Combien coûtent 10 cahiers ? → DH
3. 7 heures de travail rapportent 140 DH. Combien rapportent 10 heures ? → DH
4. 9 stylos coûtent 27 DH. Combien coûtent 12 stylos ? → DH
5. 4 litres d’huile coûtent 48 DH. Combien coûtent 7 litres ? → DH
1. \( 30 \div 5 = 6 \), \( 8 \times 6 = 48 \)
2. \( 18 \div 3 = 6 \), \( 10 \times 6 = 60 \)
3. \( 140 \div 7 = 20 \), \( 10 \times 20 = 200 \)
4. \( 27 \div 9 = 3 \), \( 12 \times 3 = 36 \)
5. \( 48 \div 4 = 12 \), \( 7 \times 12 = 84 \)
✏️ Exercice 9 : Coefficient
1. Si 4 kg coûtent 24 DH, le coefficient est →
2. Si 6 crayons coûtent 18 DH, le coefficient est →
3. Si 5 litres coûtent 25 DH, le coefficient est →
4. Si 7 cahiers coûtent 49 DH, le coefficient est →
5. Si 8 heures rapportent 160 DH, le coefficient est →
Coefficient = Prix / Quantité
1. \( 24 \div 4 = 6 \)
2. \( 18 \div 6 = 3 \)
3. \( 25 \div 5 = 5 \)
4. \( 49 \div 7 = 7 \)
5. \( 160 \div 8 = 20 \)
✏️ Exercice 10 : Révision Générale
1. Deux grandeurs proportionnelles ont un coefficient →
2. Le produit en croix permet de trouver la →
3. Si 3 objets coûtent 15 DH, 6 objets coûtent → DH
4. Le prix de 1 kg est le coefficient de →
5. Le graphique d’une situation de proportionnalité est une →
• Coefficient constant.
• Produit en croix pour valeur manquante.
• Double quantité → double prix.
• Coefficient = prix unitaire.
• Graphique = droite par l’origine.
