Introduction

L’étude des fonctions est fondamentale en analyse mathématique. Elle permet de comprendre le comportement d’une fonction et de visualiser ses propriétés principales : variations, extremums, asymptotes et parité.

1. Domaine de Définition (D_f)

Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.

Cas particuliers :

• Fraction : Dénominateur ≠ 0
• Racine carrée : Expression sous la racine ≥ 0
• Logarithme : Expression > 0

Exemple : Pour \( f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3} \), D_f = [1,3[ ∪ ]3,+∞[

2. Sens de Variation

On étudie le signe de la dérivée f’ pour déterminer les variations :

Extremums : Si f’ s’annule en changeant de signe en x₀, alors f admet un extremum en x₀.

3. Parité des Fonctions

Une fonction peut être paire, impaire ou ni l’un ni l’autre :

• Paire : f(-x) = f(x) (symétrie axiale)
• Impaire : f(-x) = -f(x) (symétrie centrale)

Méthode :
1. Vérifier que D_f est symétrique par rapport à 0
2. Calculer f(-x) et comparer à f(x)

4. Asymptotes

Les asymptotes décrivent le comportement aux bornes du domaine :

Types d’asymptotes :

• Verticale : \( \lim_{x\to a} f(x) = ±∞ \) ⇒ x = a
• Horizontale : \( \lim_{x\to ±∞} f(x) = b \) ⇒ y = b
• Oblique : \( f(x) = ax + b + o(1) \) ⇒ y = ax + b

5. Représentation Graphique

Méthode pour tracer une courbe :

1. Déterminer D_f
2. Étudier la parité (réduction du domaine d’étude)
3. Calculer les limites aux bornes
4. Déterminer les asymptotes
5. Étudier les variations (tableau complet)
6. Calculer quelques points particuliers
7. Tracer la courbe

Exercice 1: Domaine de définition

Déterminer D_f pour \( f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x^2-1} \).

Exercice 2: Étude de variations

Étudier les variations de \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \).

Exercice 3: Parité

Étudier la parité de \( f(x) = \frac{x^3}{x^2+1} \).

Exercice 4: Asymptotes

Déterminer les asymptotes de \( f(x) = \frac{2x^2-1}{x} \).

Exercice 5: Synthèse

Étudier complètement \( f(x) = \frac{x^2-4}{x-1} \) et tracer sa courbe.