📈 Limites d’une Fonction
1ère Bac Sciences Expérimentalles SEx
🎯 Introduction
La limite d’une fonction en un point décrit son comportement lorsque la variable se rapproche de ce point.
Approche intuitive de la limite
1. Définitions
Limite finie
\(\lim\limits_{x \to a} f(x) = L\)
Quand x s’approche de a, f(x) s’approche de L
Limite infinie
\(\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty\)
f(x) devient arbitrairement grand
Limite en l’infini
\(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = L\) : comportement asymptotique
2. Techniques de Calcul
Méthodes principales :
- Substitution directe (si fonction continue)
- Factorisation pour formes indéterminées \(\frac{0}{0}\)
- Quantité conjuguée pour limites avec racines
- Croissance comparée en ±∞
Exemple :
\(\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 – 1}{x – 1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2\)
3. Limites Usuelles
| Fonction | Limite en 0 | Limite en ±∞ |
|---|---|---|
| \(\frac{\sin x}{x}\) | 1 | 0 |
| \(e^x\) | 1 | 0 (en -∞), +∞ (en +∞) |
| \(\ln x\) | -∞ | +∞ |
4. Asymptotes
Asymptote horizontale
Si \(\lim\limits_{x \to ±\infty} f(x) = L\)
Droite y = L
Asymptote verticale
Si \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = ±\infty\)
Droite x = a
Asymptote oblique
Si \(f(x) = ax + b + \epsilon(x)\) avec \(\lim \epsilon(x) = 0\)
Droite y = ax + b
🔄 Exercice Interactif
Soit \( f(x) = \frac{2x^2 – 3x + 1}{x^2 – 1} \). Déterminer :
1. \(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\) =
2. \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) =
3. Asymptote horizontale : y =
