📈 Généralités sur les Fonctions 1ère Bac et Technologies Mécaniques STM


📈 Généralités sur les Fonctions
1ère Bac et Technologies Mécaniques STM

🎯 Introduction

Une fonction f est une relation qui à chaque élément x d’un ensemble de départ D associe au plus un élément y = f(x) dans un ensemble d’arrivée.

x₁
x₂
x₃
f(x₁)
f(x₂)

Fonction (non définie en x₃)

x₁
x₂
f(x₁)
f(x₂)
f(x₂)’

Non fonction (x₂ a deux images)

1. Domaine de Définition

Le domaine de définition Df est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.

Cas particuliers :

Type Condition
Fraction Dénominateur ≠ 0
Racine Radicande ≥ 0
Logarithme Argument > 0

Exemple :

Soit f(x) = √(x-2) + 1/(x+3)

Solution :

1. √(x-2) existe ⇔ x-2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

2. 1/(x+3) existe ⇔ x+3 ≠ 0 ⇔ x ≠ -3

⇒ Df = [2, +∞[

2. Parité et Périodicité

Fonction Paire

∀x ∈ Df, -x ∈ Df et f(-x) = f(x)

Symétrie par rapport à (Oy)

Fonction Impaire

∀x ∈ Df, -x ∈ Df et f(-x) = -f(x)

Symétrie centrale par rapport à O

Périodicité

∃T > 0 tel que ∀x ∈ Df, x+T ∈ Df et f(x+T) = f(x)

0
T
2T

Motif qui se répète (ex: fonctions trigonométriques)

3. Sens de Variation

Fonction Croissante

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

Fonction Décroissante

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

Méthode d’étude :

  1. Calculer f(x₂) – f(x₁)
  2. Factoriser si possible
  3. Déterminer le signe
  4. Conclure

Exemple : f(x) = x² sur [0,+∞[

Soit 0 ≤ x₁ < x₂ :

f(x₂) – f(x₁) = x₂² – x₁² = (x₂ – x₁)(x₂ + x₁) > 0

⇒ f est strictement croissante

4. Extremums

Maximum

f(a) est un maximum de f sur D si :

∀x ∈ D, f(x) ≤ f(a)

Minimum

f(a) est un minimum de f sur D si :

∀x ∈ D, f(x) ≥ f(a)

Méthode de recherche :

  1. Calculer la dérivée f'(x)
  2. Résoudre f'(x) = 0
  3. Étudier le signe de f’ autour des points critiques
  4. Calculer f aux points critiques et aux bornes

🔄 Exercice Interactif

Soit f(x) = x³ – 3x². Déterminer :

1. Domaine de définition :

2. Parité :

3. Point critique en x =

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