📈 Généralités sur les Fonctions
1ère Bac et Technologies Mécaniques STM
🎯 Introduction
Une fonction f est une relation qui à chaque élément x d’un ensemble de départ D associe au plus un élément y = f(x) dans un ensemble d’arrivée.
Fonction (non définie en x₃)
Non fonction (x₂ a deux images)
1. Domaine de Définition
Le domaine de définition Df est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.
Cas particuliers :
Type | Condition |
Fraction | Dénominateur ≠ 0 |
Racine | Radicande ≥ 0 |
Logarithme | Argument > 0 |
Exemple :
Soit f(x) = √(x-2) + 1/(x+3)
Solution :
1. √(x-2) existe ⇔ x-2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2
2. 1/(x+3) existe ⇔ x+3 ≠ 0 ⇔ x ≠ -3
⇒ Df = [2, +∞[
2. Parité et Périodicité
Fonction Paire
∀x ∈ Df, -x ∈ Df et f(-x) = f(x)
Symétrie par rapport à (Oy)
Fonction Impaire
∀x ∈ Df, -x ∈ Df et f(-x) = -f(x)
Symétrie centrale par rapport à O
Périodicité
∃T > 0 tel que ∀x ∈ Df, x+T ∈ Df et f(x+T) = f(x)
Motif qui se répète (ex: fonctions trigonométriques)
3. Sens de Variation
Fonction Croissante
x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
Fonction Décroissante
x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)
Méthode d’étude :
- Calculer f(x₂) – f(x₁)
- Factoriser si possible
- Déterminer le signe
- Conclure
Exemple : f(x) = x² sur [0,+∞[
Soit 0 ≤ x₁ < x₂ :
f(x₂) – f(x₁) = x₂² – x₁² = (x₂ – x₁)(x₂ + x₁) > 0
⇒ f est strictement croissante
4. Extremums
Maximum
f(a) est un maximum de f sur D si :
∀x ∈ D, f(x) ≤ f(a)
Minimum
f(a) est un minimum de f sur D si :
∀x ∈ D, f(x) ≥ f(a)
Méthode de recherche :
- Calculer la dérivée f'(x)
- Résoudre f'(x) = 0
- Étudier le signe de f’ autour des points critiques
- Calculer f aux points critiques et aux bornes
🔄 Exercice Interactif
Soit f(x) = x³ – 3x². Déterminer :
1. Domaine de définition :
2. Parité :
3. Point critique en x =