📈 Fonctions Linéaires & Fonctions Affines
Algèbre – 3ème Année Collège
Introduction
Les fonctions linéaires et affines sont des outils mathématiques fondamentaux pour modéliser des situations de proportionnalité et des relations avec constante additive.
Fonction Linéaire
• Forme: f(x) = ax
• Passe par l’origine
Fonction Affine
• Forme: f(x) = ax + b
• Ordonnée à l’origine: b
Applications
Tarifs
Calculs de prix
Statistiques
1. Fonction Linéaire
f(x) = ax (a ∈ ℝ)
Propriétés
• Représentation: droite passant par O(0,0)
• Coefficient directeur: a
• Sens de variation:
- Si a > 0: fonction croissante ↗️
- Si a < 0: fonction décroissante ↘️
\[ a = \frac{f(x)}{x} \ (x \neq 0) \]
Représentation Graphique
2. Fonction Affine
Définition
\[ f(x) = ax + b \]
• a: coefficient directeur
• b: ordonnée à l’origine
Cas Particuliers
• Si b = 0 → fonction linéaire
• Si a = 0 → fonction constante
Représentation Graphique
a = -0.3
b = 100
3. Méthodes & Applications
Déterminer une fonction affine
Connaissant deux points A(x₁,y₁) et B(x₂,y₂) :
\[ a = \frac{y₂ – y₁}{x₂ – x₁} \]
\[ b = y₁ – a \times x₁ \]
Exemple : A(2,5) et B(4,11)
\[ a = \frac{11-5}{4-2} = 3 \]
\[ b = 5 – 3×2 = -1 \]
\[ \Rightarrow f(x) = 3x – 1 \]
Application: Problème de Tarification
Un taxi applique :
- 5€ de prise en charge (b)
- 1.20€ par km parcouru (a)
\[ f(x) = 1.2x + 5 \]
Pour 10 km : f(10) = 1.2×10 + 5 = 17€
4. Comparaison ⚖️
| Caractéristique | Fonction Linéaire | Fonction Affine |
|---|---|---|
| Formule | f(x) = ax | f(x) = ax + b |
| Représentation | Droite passant par O(0,0) | Droite coupant l’axe y en b |
| Proportionnalité | Oui | Non (sauf si b=0) |
| Exemple | Prix sans frais fixes | Prix avec frais fixes |
