✖️ Le Produit Scalaire dans le Plan
1ère Bac Sciences et Technologies Elécriques STE
🎯 Introduction
Le produit scalaire est une opération algébrique s’appliquant aux vecteurs. Pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), il est noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) et se calcule de plusieurs façons :
Produit scalaire géométrique
1. Définition et Propriétés
Définition géométrique :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)\)
où θ est l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Propriétés fondamentales :
- Symétrie : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
- Bilinéarité : \(\vec{u} \cdot (a\vec{v} + b\vec{w}) = a(\vec{u} \cdot \vec{v}) + b(\vec{u} \cdot \vec{w})\)
- Positivité : \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \geq 0\)
2. Expression Analytique
Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}x’ \\ y’\end{pmatrix}\) :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’\)
Exemple :
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\) :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2×3 + (-1)×4 = 6 – 4 = 2\)
3. Orthogonalité
Condition d’orthogonalité
\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
Application
Équation de droite : \(ax + by + c = 0\)
Vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\)
4. Applications Géométriques
Longueurs
\(\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}\)
Distance AB = \(\|\overrightarrow{AB}\|\)
Angles
\(\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}\)
Projection orthogonale
Longueur de la projection de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) :
\(\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{\|\vec{v}\|}\)
🔄 Exercice Interactif
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix}\).
1. Produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) =
2. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
3. Norme de \(\vec{u}\) =
