✖️ 10 Exercices: Produit Scalaire dans l’Espace
1ère Bac Sciences Mathématiques SM
Exercice 1: Calcul de produit scalaire
Calculer \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) pour \( \vec{u} \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} \).
Solution :
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = (2×1) + (-1×0) + (3×-2) = 2 + 0 – 6 = -4 \)
Exercice 2: Orthogonalité
Montrer que \( \vec{u} \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix}4 \\ 5 \\ 2\end{pmatrix} \) sont orthogonaux.
Solution :
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = (1×4) + (-2×5) + (3×2) = 4 – 10 + 6 = 0 \)
Le produit scalaire est nul ⇒ les vecteurs sont orthogonaux.
Exercice 3: Angle entre vecteurs
Calculer l’angle entre \( \vec{u} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \).
Solution :
1. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = (1×0) + (0×1) + (1×1) = 1 \)
2. \( \|\vec{u}\| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2} \), \( \|\vec{v}\| = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2} \)
3. \( \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \) ⇒ θ = 60°
Exercice 4: Distance point-plan
Calculer la distance du point A(1,-2,3) au plan P: 2x – y + 2z – 5 = 0.
Solution :
\( d = \frac{|2×1 – (-2) + 2×3 – 5|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2 + 2 + 6 – 5|}{3} = \frac{5}{3} \)
Exercice 5: Vecteur normal
Déterminer un vecteur normal au plan passant par A(1,0,1), B(2,-1,3) et C(0,2,1).
Solution :
1. \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} \), \( \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} \)
2. Produit vectoriel : \( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-4 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} \)
⇒ Vecteur normal : \( \begin{pmatrix}-4 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} \) ou tout multiple
Exercice 6: Projection orthogonale
Déterminer la projection orthogonale de \( \vec{u} \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} \) sur \( \vec{v} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \).
Solution :
1. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 2×1 + 1×0 + (-1)×2 = 0 \)
2. \( \|\vec{v}\|^2 = 1 + 0 + 4 = 5 \)
3. Projection : \( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v} = \vec{0} \) (orthogonalité)
Exercice 7: Équation de plan
Déterminer l’équation du plan passant par A(1,2,3) et de vecteur normal \( \vec{n} \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix} \).
Solution :
Équation : \( 2(x-1) -1(y-2) +4(z-3) = 0 \)
Soit : \( 2x – y + 4z – 12 = 0 \)
Exercice 8: Identité remarquable
Calculer \( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 \) pour \( \vec{u} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} \).
Solution :
1. \( \|\vec{u}\|^2 = 1 + 0 + 4 = 5 \)
2. \( \|\vec{v}\|^2 = 1 + 9 + 1 = 11 \)
3. \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -1 + 0 + 2 = 1 \)
4. \( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = 5 + 11 + 2 = 18 \)
Exercice 9: Plan médiateur
Déterminer l’équation du plan médiateur du segment [AB] avec A(1,2,3) et B(3,0,-1).
Solution :
1. Milieu I : \( (2,1,1) \)
2. Vecteur normal : \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ -4\end{pmatrix} \)
3. Équation : \( 2(x-2) -2(y-1) -4(z-1) = 0 \) ⇒ \( x – y – 2z + 1 = 0 \)
Exercice 10: Synthèse
Soient les points A(1,0,1), B(2,-1,3), C(0,2,1).
1. Calculer \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \)
2. En déduire l’angle Â
3. Calculer l’aire du triangle ABC
Solution :
1. \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} \), \( \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} \)
\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -1 -2 +0 = -3 \)
2. \( \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{6} \), \( \|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{5} \)
\( \cos(\widehat{A}) = \frac{-3}{\sqrt{30}} ≈ -0.55 \) ⇒ \( \widehat{A} ≈ 123° \)
3. Aire = \( \frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\| = \frac{\sqrt{21}}{2} \)
