Théorème des Accroissements Finis (TAF)
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Énoncé du TAF
Théorème : Soit \( f \) une fonction :
- Continue sur \([a, b]\)
- Dérivable sur \(]a, b[\)
Alors, il existe au moins un réel \( c \in ]a, b[ \) tel que :
Interprétation géométrique : Il existe un point où la tangente est parallèle à la corde AB.
La courbe admet au moins un point C où la tangente est parallèle à (AB)
2. Cas particuliers
a) Théorème de Rolle
Si \( f(a) = f(b) \), alors il existe \( c \in ]a, b[ \) tel que \( f'(c) = 0 \).
b) Inégalité des accroissements finis
Si \( |f'(x)| \leq M \) sur \(]a, b[\), alors :
Exemple : Montrer que \( \sqrt{1+x} \leq 1 + \frac{x}{2} \) pour \( x \geq -1 \).
Solution : Appliquer le TAF à \( f(t) = \sqrt{1+t} \) sur [0,x] avec \( f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{1+t}} \leq \frac{1}{2} \).
3. Démonstration
On utilise la fonction auxiliaire :
- Vérifier que \( h(a) = h(b) = 0 \)
- Appliquer le théorème de Rolle à \( h \)
- Calculer \( h'(c) = 0 \) pour obtenir le résultat
4. Applications
a) Sens de variation
Si \( f’ > 0 \) sur \(]a, b[\), alors \( f \) est strictement croissante.
b) Unicité de solutions
Si \( f’ \) garde un signe constant, alors \( f(x) = k \) a au plus une solution.
Exercice : Montrer que \( x^3 + x – 1 = 0 \) a une unique solution dans ℝ.
Solution :
- \( f(x) = x^3 + x – 1 \) est strictement croissante car \( f'(x) = 3x^2 + 1 > 0 \)
- Limites en ±∞ et TVI donnent l’existence
5. Exercices typiques
Exercice 1 : Soit \( f(x) = \ln(x) \) sur [1, e]. Trouver \( c \) vérifiant le TAF.
\( c = e – 1 \) car \( \frac{1}{c} = \frac{1}{e – 1} \)
Exercice 2 : Montrer que \( |\sin(b) – \sin(a)| \leq |b – a| \).
Par TAF avec \( |\cos(c)| \leq 1 \).
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