Primitives et Calcul Intégral
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Primitives
a) Définition
Une primitive d’une fonction \( f \) sur un intervalle \( I \) est une fonction \( F \) dérivable sur \( I \) telle que :
\( F'(x) = f(x) \) pour tout \( x ∈ I \)
\( F'(x) = f(x) \) pour tout \( x ∈ I \)
b) Propriétés
- Toute fonction continue admet une infinité de primitives
- Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors \( F + C \) (où \( C \) est une constante) aussi
- Primitives usuelles à connaître :
| Fonction \( f(x) \) | Primitive \( F(x) \) |
|---|---|
| \( x^n \) (n ≠ -1) | \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) |
| \( \frac{1}{x} \) | \( \ln|x| + C \) |
| \( e^x \) | \( e^x + C \) |
| \( \sin x \) | \( -\cos x + C \) |
| \( \cos x \) | \( \sin x + C \) |
2. Intégrale d’une Fonction
a) Définition
\( \int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a) \)
où \( F \) est une primitive de \( f \) sur \([a,b]\)
où \( F \) est une primitive de \( f \) sur \([a,b]\)
b) Propriétés
- Linéarité : \( \int_a^b (αf + βg)(x)dx = α\int_a^b f(x)dx + β\int_a^b g(x)dx \)
- Relation de Chasles : \( \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx \)
- Positivité : Si \( f ≥ 0 \) sur \([a,b]\), alors \( \int_a^b f(x)dx ≥ 0 \)
3. Techniques d’Intégration
a) Intégration par parties
\( \int_a^b u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b u(x)v'(x)dx \)
Exemple : \( \int x e^x dx = x e^x – \int e^x dx = e^x(x – 1) + C \)
b) Changement de variable
Si \( x = φ(t) \), alors \( \int_a^b f(x)dx = \int_{φ^{-1}(a)}^{φ^{-1}(b)} f(φ(t))φ'(t)dt \)
Exemple : \( \int \frac{1}{1+x^2} dx \) avec \( x = \tan t \)
4. Exercices d’Application
Exercice 1 : Calculer \( \int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) dx \)
Solution :
1. Trouver une primitive : \( F(x) = x^3 + x^2 + x \)
2. Appliquer la définition : \( F(1) – F(0) = (1 + 1 + 1) – 0 = 3 \)
Exercice 2 : Calculer \( \int x \ln x dx \)
Solution :
Intégration par parties avec \( u’ = x \) et \( v = \ln x \) :
\( \int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x – \int \frac{x^2}{2} \times \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{x^2}{4} + C \)
Exercice 3 : Calculer l’aire sous la courbe de \( f(x) = \sin x \) entre 0 et π
Solution :
\( \int_0^π \sin x dx = [-\cos x]_0^π = (-\cos π) – (-\cos 0) = 1 + 1 = 2 \)
