Primitives et Calcul Intégral
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Primitives
a) Définition
\( F'(x) = f(x) \quad \forall x \in I \)
b) Propriétés
- Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
- Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors toutes les primitives sont de la forme \( F(x) + C \), où \( C \in \mathbb{R} \).
- Deux primitives diffèrent d’une constante.
| Fonction \( f(x) \) | Primitive \( F(x) \) |
|---|---|
| \( x^n \) (\( n \ne -1 \)) | \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) |
| \( \frac{1}{x} \) | \( \ln|x| + C \) |
| \( e^x \) | \( e^x + C \) |
| \( \sin x \) | \( -\cos x + C \) |
| \( \cos x \) | \( \sin x + C \) |
| \( \frac{1}{1+x^2} \) | \( \arctan x + C \) |
2. Intégrale d’une Fonction
a) Définition
\( \int_a^b f(x)\,dx = F(b) – F(a) = \left[ F(x) \right]_a^b \)
b) Propriétés fondamentales
- Linéarité : \( \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x)\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx \)
- Relation de Chasles : \( \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx \) pour tout \( c \in [a,b] \)
- Positivité : Si \( f(x) \geq 0 \) sur \([a,b]\), alors \( \int_a^b f(x)\,dx \geq 0 \)
- Inversion des bornes : \( \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx \)
3. Techniques d’Intégration
a) Intégration par parties
\( \int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \left[ u(x)v(x) \right]_a^b – \int_a^b u(x)v'(x)\,dx \)
Exemple : Calculer \( \int x e^x\,dx \)
On pose \( u'(x) = e^x \Rightarrow u(x) = e^x \), \( v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1 \)
Donc : \( \int x e^x\,dx = x e^x – \int e^x\,dx = x e^x – e^x + C = e^x(x – 1) + C \)
b) Changement de variable
\( \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)\,dt \)
Exemple : \( \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \) avec \( x = \tan t \)
\( dx = (1 + \tan^2 t)\,dt \), quand \( x=0 \Rightarrow t=0 \), \( x=1 \Rightarrow t=\pi/4 \)
Donc : \( \int_0^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan^2 t} \cdot (1+\tan^2 t)\,dt = \int_0^{\pi/4} dt = \frac{\pi}{4} \)
4. Exercices d’Application
Exercice 1 : Calculer \( \int_0^1 (3x^2 + 2x + 1)\,dx \)
Solution :
Une primitive de \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) est :
\( F(x) = x^3 + x^2 + x \)
Donc :
\( \int_0^1 f(x)\,dx = F(1) – F(0) = (1 + 1 + 1) – 0 = 3 \)
Exercice 2 : Calculer \( \int x \ln x\,dx \) pour \( x > 0 \)
Solution :
Utilisons l’intégration par parties.
Posons : \( u'(x) = x \Rightarrow u(x) = \frac{x^2}{2} \), \( v(x) = \ln x \Rightarrow v'(x) = \frac{1}{x} \)
Alors :
\( \int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2} \ln x – \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{1}{2} \int x\,dx \)
\( = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{x^2}{4} + C \)
Exercice 3 : Calculer l’aire sous la courbe de \( f(x) = \sin x \) entre \( 0 \) et \( \pi \)
Solution :
L’aire est donnée par :
\( A = \int_0^\pi \sin x\,dx = \left[ -\cos x \right]_0^\pi = (-\cos \pi) – (-\cos 0) = -(-1) – (-1) = 1 + 1 = 2 \)
Cette aire correspond à la surface positive sous une demi-onde du sinus.
