Nombres Complexes Avancés
2ème BAC Sciences et Technologies Mécaniques
1. Racines n-ièmes de l’unité
a) Définition
Elles s’écrivent : \( \omega_k = e^{i\frac{2kπ}{n}} \) pour \( k = 0,1,…,n-1 \)
b) Propriétés
- Somme des racines : \( \sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0 \)
- Produit des racines : \( \prod_{k=0}^{n-1} \omega_k = (-1)^{n+1} \)
- Elles forment un groupe multiplicatif cyclique
2. Formule de Moivre Généralisée
\( z^α = r^α e^{iαθ} = r^α [\cos(αθ) + i\sin(αθ)] \)
(à considérer comme une détermination principale)
Application : Racines complexes
Pour \( z = re^{iθ} \), les racines α-ièmes sont :
\( z_k^{1/α} = r^{1/α} e^{i(\frac{θ}{α} + \frac{2kπ}{α})} \) pour \( k = 0,1,…,α-1 \)
3. Transformations Complexes
a) Homographie
Transforme cercles et droites en cercles ou droites
b) Similitude directe
Composition d’une homothétie, rotation et translation
4. Équations Complexes Avancées
a) Équation polynomiale
Résoudre \( z^4 – (1+i)z^2 + i = 0 \)
1. Poser \( Z = z^2 \), résoudre \( Z^2 – (1+i)Z + i = 0 \)
2. Solutions en Z : \( Z = 1 \) et \( Z = i \)
3. Résoudre \( z^2 = 1 \) et \( z^2 = i \) séparément
b) Équation fonctionnelle
Trouver \( f: ℂ → ℂ \) holomorphe telle que \( f(z+1) = f(z) \) et \( f(z+i) = f(z) \)
Utiliser la double périodicité et les séries de Fourier complexes
5. Exercices Avancés
Exercice 1 : Montrer que \( \sum_{k=0}^{n-1} \sin\left(θ+\frac{2kπ}{n}\right) = 0 \)
Utiliser la partie imaginaire de \( e^{iθ} \sum_{k=0}^{n-1} \omega_k \) où \( \omega_k \) sont les racines n-ièmes
Exercice 2 : Résoudre \( z^3 = \overline{z} \) dans ℂ
Passer en forme polaire : \( r^3e^{3iθ} = re^{-iθ} \) ⇒ \( r^2e^{i4θ} = 1 \)
Solutions : \( z = 0 \), \( z = 1 \), \( z = -1 \), \( z = i \), \( z = -i \)
Exercice 3 : Déterminer l’image du cercle unité par \( f(z) = \frac{z+i}{z-i} \)
Montrer que c’est la droite réelle (utiliser \( |z| = 1 \) et calculer \( f(z) \))
