Nombres Complexes
2ème BAC Sciences et Technologies Mécaniques
1. Définitions et Formes
a) Forme algébrique
\( z = a + ib \)
(où \( a = \text{Re}(z) \), \( b = \text{Im}(z) \), \( i^2 = -1 \))
(où \( a = \text{Re}(z) \), \( b = \text{Im}(z) \), \( i^2 = -1 \))
b) Forme trigonométrique
\( z = r(\cosθ + i\sinθ) \)
(module \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \), argument \( θ \))
(module \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \), argument \( θ \))
2. Opérations Fondamentales
a) Addition
\( (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d) \)
b) Multiplication
En trigonométrique : \( r_1(\cosθ_1 + i\sinθ_1) \times r_2(\cosθ_2 + i\sinθ_2) = r_1r_2(\cos(θ_1+θ_2) + i\sin(θ_1+θ_2)) \)
3. Formules Clés
a) Formule de Moivre
\( (\cosθ + i\sinθ)^n = \cos(nθ) + i\sin(nθ) \)
b) Formule d’Euler
\( e^{iθ} = \cosθ + i\sinθ \)
4. Exercices d’Application
Exercice 1 : Calculer \( (1 + i)^8 \)
Solution :
1. Forme trigo : \( 1+i = \sqrt{2}(\cos\frac{π}{4} + i\sin\frac{π}{4}) \)
2. Moivre : \( (\sqrt{2})^8 (\cos(8×\frac{π}{4}) + i\sin(8×\frac{π}{4})) = 16(\cos2π + i\sin2π) = 16 \)
Exercice 2 : Résoudre \( z^2 = 3 + 4i \)
Solution :
Poser \( z = a+ib \), développer et identifier parties réelle/imaginaire :
Solutions : \( z = 2 + i \) ou \( z = -2 – i \)
