Limites et Continuité – 2ème Bac
I. Continuité d’une fonction en un point
Définition formelle
Une fonction f est continue en un point a si :
f(a)existe (a ∈ Df)limx→a f(x)existelimx→a f(x) = f(a)
Représentation graphique de la continuité
La fonction continue ne présente aucun saut au point a, contrairement à la fonction discontinue.
II. Continuité sur un intervalle
Définition
Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Cas particuliers :
- Sur
[a,b]: continue sur ]a,b[ et continue à droite en a, à gauche en b - Sur
]a,b]: continue sur ]a,b[ et continue à gauche en b
Continuité sur différents intervalles
III. Opérations sur les fonctions continues
Propriétés algébriques
Si f et g sont continues en a (ou sur I), alors :
| Opération | Résultat | Condition |
|---|---|---|
| Somme f + g | Continue en a | – |
| Produit f × g | Continue en a | – |
| Quotient f/g | Continue en a | g(a) ≠ 0 |
| Composition g∘f | Continue en a | f continue en a, g continue en f(a) |
IV. Continuité de la composée de deux fonctions
Théorème de composition
Si :
fest continue enagest continue enf(a)
Alors la composée g∘f est continue en a.
Schéma de composition de fonctions
La continuité est préservée par composition de fonctions.
V. Limite de la composée d’une fonction continue et d’une fonction admettant une limite
Théorème
Soient :
limx→a f(x) = bgcontinue enb
Alors : limx→a g(f(x)) = g(b)
Exemple pratique
Calculer limx→0 sin(x²)/x² :
- Posons
f(x) = x²(continue) donclimx→0 f(x) = 0 - Posons
g(u) = sin(u)/ucontinue en 0 avecg(0) = 1 - Donc
limx→0 g(f(x)) = g(0) = 1
VI. Fonction racine n-ième
Continuité
La fonction f(x) = x1/n :
- Est continue sur
[0,+∞[si n est pair - Est continue sur
ℝsi n est impair
Comparaison des racines n-ièmes
Les racines impaires sont définies sur tout ℝ tandis que les paires ne sont définies que sur ℝ⁺.
VII. Théorèmes fondamentaux
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Soit f continue sur [a,b]. Pour tout k compris entre f(a) et f(b), il existe c ∈ [a,b] tel que f(c) = k.
Théorème de la bijection
Si f est continue et strictement monotone sur [a,b], alors :
fréalise une bijection de[a,b]surJ = [f(a),f(b)](ou[f(b),f(a)]si décroissante)- La bijection réciproque
f⁻¹est continue et strictement monotone de même sens
