Fonctions Primitives
2ème BAC Sciences et Technologies Mécaniques
1. Définition et Propriétés
Définition : Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). Une fonction \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( I \) si :
Propriétés :
- Toute fonction continue admet une infinité de primitives
- Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors \( F + C \) (\( C \in \mathbb{R} \)) aussi
- Deux primitives diffèrent d’une constante : \( F – G = C \)
Exemple : Les primitives de \( f(x) = 2x \) sont \( F(x) = x^2 + C \)
2. Primitives Usuelles
| Fonction \( f(x) \) | Primitive \( F(x) \) | Intervalle |
|---|---|---|
| \( k \) (constante) | \( kx + C \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( x^n \) (\( n \neq -1 \)) | \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) | \( \mathbb{R} \) si \( n \in \mathbb{N} \), \( \mathbb{R}^* \) sinon |
| \( \frac{1}{x} \) | \( \ln|x| + C \) | \( \mathbb{R}^* \) |
| \( e^x \) | \( e^x + C \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( \cos(x) \) | \( \sin(x) + C \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( \sin(x) \) | \( -\cos(x) + C \) | \( \mathbb{R} \) |
Remarque : Pour les fonctions composées (\( u’ \times f(u) \)) :
3. Techniques d’Intégration
a) Linéarité
b) Intégration par parties
Exemple : \( \int x e^x \, dx \)
Choix : \( u = x \Rightarrow u’ = 1 \), \( v’ = e^x \Rightarrow v = e^x \)
\[ = x e^x – \int e^x \, dx = x e^x – e^x + C \]c) Changement de variable
Exemple : \( \int 2x e^{x^2} \, dx \)
Posons \( u = x^2 \Rightarrow du = 2x \, dx \)
\[ = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C \]4. Applications en Physique
Cinématique
Si \( v(t) \) est la vitesse :
\[ x(t) = \int v(t) \, dt + x_0 \]Électricité
Si \( i(t) \) est l’intensité :
\[ q(t) = \int i(t) \, dt + q_0 \]5. Exercices Types
Exercice 1 : Trouver la primitive de \( f(x) = 3x^2 – 2x + 5 \) qui s’annule en \( x=1 \)
Solution : \( F(x) = x^3 – x^2 + 5x – 5 \)
Exercice 2 : Calculer \( \int x \sin(x) \, dx \) par intégration par parties
Choix : \( u = x \Rightarrow u’ = 1 \), \( v’ = \sin(x) \Rightarrow v = -\cos(x) \)
\[ \int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx \]\[ = -x \cos(x) + \sin(x) + C \]
