Fonctions Logarithmiques
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Définition et Propriétés Fondamentales
a) Définition
La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est définie pour tout \( x > 0 \) par :
b) Propriétés algébriques
- \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \) pour \( a, b > 0 \)
- \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b) \)
- \( \ln(a^n) = n\ln(a) \) pour \( a > 0 \), \( n \in \mathbb{R} \)
- \( \ln(1) = 0 \) et \( \ln(e) = 1 \), où \( e \approx 2.71828 \) est la base du logarithme népérien
2. Étude de la Fonction \( x \mapsto \ln(x) \)
a) Dérivée et variations
La fonction \( \ln \) est dérivable sur \( ]0, +\infty[ \) et sa dérivée est :
Conséquences :
- Strictement croissante sur \( \mathbb{R}^*_+ \)
- Concave car \( \ln”(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \) pour tout \( x > 0 \)
- Tangente en \( x=1 \) : \( y = x – 1 \)
b) Limites remarquables
- \( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \)
- \( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)
- \( \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1 \)
- \( \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 \)
3. Logarithme Décimal
Défini pour \( x > 0 \) par :
Propriétés :
- \( \log_{10}(10) = 1 \), \( \log_{10}(1) = 0 \)
- \( \log_{10}(a^n) = n \log_{10}(a) \)
- Utilisé en sciences : échelle de pH, décibels, magnitude des séismes (échelle de Richter)
4. Croissances Comparées
Le logarithme croît très lentement comparé aux fonctions puissances ou exponentielles :
- \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \) pour tout \( n > 0 \)
- \( \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \) pour tout \( n > 0 \)
- \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{e^x} = 0 \)
- \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \) pour tout \( n \)
Interprétation : L’exponentielle domine toute puissance, qui elle-même domine le logarithme.
5. Exercices d’Application
Exercice 1 : Résoudre \( \ln(x+2) + \ln(x-1) = \ln(4x) \) dans \( \mathbb{R} \).
Solution :
Condition d’existence : \( x+2 > 0 \), \( x-1 > 0 \), \( 4x > 0 \) ⇒ \( x > 1 \)
L’équation devient : \( \ln[(x+2)(x-1)] = \ln(4x) \)
Donc \( (x+2)(x-1) = 4x \)
\( x^2 + x – 2 = 4x \Rightarrow x^2 – 3x – 2 = 0 \)
Discriminant : \( \Delta = 9 + 8 = 17 \)
Solutions : \( x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \)
Seule \( x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3.56 \) est \( > 1 \)
Solution : \( x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \)
Exercice 2 : Étudier les variations de \( f(x) = x^2 \ln(x) \) sur \( \mathbb{R}^*_+ \).
Solution :
\( f \) est dérivable sur \( ]0, +\infty[ \)
\( f'(x) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x = x(2\ln(x) + 1) \)
Signe de \( f'(x) \) : comme \( x > 0 \), on étudie \( 2\ln(x) + 1 \)
\( 2\ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \)
– Si \( 0 < x < e^{-1/2} \), \( f'(x) < 0 \) ⇒ \( f \) décroissante
– Si \( x > e^{-1/2} \), \( f'(x) > 0 \) ⇒ \( f \) croissante
Conclusion : Minimum local en \( x = e^{-1/2} \)
Exercice 3 : Calculer \( \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) \).
Solution :
C’est une forme indéterminée \( 0 \times (-\infty) \)
Posez \( X = \ln(x) \), donc \( x = e^X \), quand \( x \to 0^+ \), \( X \to -\infty \)
\( x \ln(x) = e^X \cdot X \)
On sait que \( \lim_{X \to -\infty} X e^X = 0 \) (croissance comparée)
Donc \( \boxed{\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0} \)
