Fonctions Exponentielles
2ème BAC Sciences et Technologies Eléctriques
1. Définition et Propriétés
a) Fonction exponentielle népérienne
Définie comme la réciproque du logarithme népérien :
\( \exp(x) = e^x \) où \( e \approx 2.71828 \)
b) Propriétés algébriques
- \( e^{a+b} = e^a \times e^b \)
- \( e^{-a} = \frac{1}{e^a} \)
- \( (e^a)^b = e^{ab} \)
- \( e^0 = 1 \)
2. Dérivée et Étude Fonctionnelle
a) Dérivée
La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :
\( \frac{d}{dx}e^x = e^x \)
b) Variations
- Strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
- Convexe (\( e^x > 0 \) pour tout \( x \))
- \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+ \)
- \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \)
3. Fonctions \( a^x \)
Pour \( a > 0 \), on définit :
\( a^x = e^{x\ln(a)} \)
Propriétés :
- Si \( a > 1 \) : croissance similaire à \( e^x \)
- Si \( 0 < a < 1 \) : fonction décroissante
- Dérivée : \( \frac{d}{dx}a^x = \ln(a) \cdot a^x \)
4. Exercices d’Application
Exercice 1 : Résoudre \( e^{2x} – 3e^x + 2 = 0 \) dans \( \mathbb{R} \).
Poser \( X = e^x \) : équation \( X^2 – 3X + 2 = 0 \).
Solutions : \( x = 0 \) et \( x = \ln(2) \).
Exercice 2 : Étudier les variations de \( f(x) = x e^{-x} \).
\( f'(x) = e^{-x}(1 – x) \).
Croissante sur \( ]-\infty, 1] \), décroissante sur \( [1, +\infty[ \).
