Exercices : Systèmes Mécaniques Oscillants
Mécanique – 2ème BAC Sciences Physiques SPC
Exercice 1 : Période d’un pendule
Un pendule simple de longueur 1 m effectue des petites oscillations. Calculer sa période (g = 9.81 m/s²).
Solution :
\[ T_0 = 2π\sqrt{\frac{L}{g}} = 2π\sqrt{\frac{1}{9.81}} ≈ 2.01\ \text{s} \]
Exercice 2 : Système masse-ressort
Une masse de 0.5 kg attachée à un ressort (k = 200 N/m) oscille. Calculer sa pulsation propre et sa période.
Solution :
\[ ω_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.5}} = 20\ \text{rad/s} \]
\[ T_0 = \frac{2π}{ω_0} = \frac{2π}{20} ≈ 0.314\ \text{s} \]
Exercice 3 : Énergie mécanique
Un oscillateur harmonique (m = 0.2 kg, k = 50 N/m) a une amplitude de 0.1 m. Calculer son énergie mécanique totale.
Solution :
\[ E_m = \frac{1}{2}kX_m^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.1)^2 = 0.25\ \text{J} \]
Exercice 4 : Vitesse maximale
Un oscillateur (k = 80 N/m, m = 0.5 kg) a une amplitude de 0.05 m. Calculer sa vitesse maximale.
Solution :
\[ v_{max} = X_mω_0 = X_m\sqrt{\frac{k}{m}} = 0.05 \times \sqrt{\frac{80}{0.5}} ≈ 0.63\ \text{m/s} \]
Exercice 5 : Pendule sur la Lune
Un pendule a une période de 2 s sur Terre (g = 9.81 m/s²). Quelle serait sa période sur la Lune (gL = 1.62 m/s²) ?
Solution :
\[ \frac{T_L}{T_T} = \sqrt{\frac{g_T}{g_L}} \Rightarrow T_L = 2 \times \sqrt{\frac{9.81}{1.62}} ≈ 4.92\ \text{s} \]
Exercice 6 : Oscillations amorties
Un système (m = 0.1 kg, k = 40 N/m) est soumis à un amortissement λ = 0.2 kg/s. Calculer le décrément logarithmique.
Solution :
\[ δ = \frac{λT_a}{2m} \]
\[ ω_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = 20\ \text{rad/s} \]
\[ ω_a = \sqrt{ω_0^2 – (\frac{λ}{2m})^2} ≈ 19.99\ \text{rad/s} \]
\[ T_a = \frac{2π}{ω_a} ≈ 0.314\ \text{s} \]
\[ δ ≈ \frac{0.2 \times 0.314}{2 \times 0.1} ≈ 0.314 \]
Exercice 7 : Ressort équivalent
Deux ressorts identiques (k = 100 N/m) sont associés en parallèle. Calculer la constante de raideur équivalente.
Solution :
\[ k_{eq} = k_1 + k_2 = 100 + 100 = 200\ \text{N/m} \]
Exercice 8 : Énergie potentielle maximale
Un oscillateur harmonique a une énergie mécanique de 0.5 J. Calculer son énergie potentielle maximale.
Solution :
\[ E_{p_{max}} = E_m = 0.5\ \text{J} \]
Exercice 9 : Amplitude et vitesse
Un oscillateur a une amplitude de 0.2 m et une vitesse maximale de 1 m/s. Calculer sa pulsation propre.
Solution :
\[ v_{max} = X_mω_0 \Rightarrow ω_0 = \frac{v_{max}}{X_m} = \frac{1}{0.2} = 5\ \text{rad/s} \]
Exercice 10 : Période d’un pendule composé
Une tige homogène de longueur L = 1 m oscille autour d’une extrémité. Calculer sa période (g = 9.81 m/s²).
Solution :
\[ I = \frac{1}{3}mL^2 \]
\[ d = \frac{L}{2} \]
\[ T_0 = 2π\sqrt{\frac{I}{mgd}} = 2π\sqrt{\frac{\frac{1}{3}mL^2}{mg\frac{L}{2}}} = 2π\sqrt{\frac{2L}{3g}} \]
\[ T_0 ≈ 2π\sqrt{\frac{2}{3 \times 9.81}} ≈ 1.64\ \text{s} \]
