Exercices : Système TriphaséSciences d’Ingénieur – 2ème BAC STE
Exercice 1 : Tensions simples et composées
Un système triphasé équilibré a une tension composée \( U = 400V \). Calculez :
a) La tension simple \( V \)
b) L’expression instantanée \( v_1(t) \) si \( f = 50Hz \)
Solution :
a) \( V = \frac{U}{\sqrt{3}} = \frac{400}{\sqrt{3}} \approx 230V \)
b) \( v_1(t) = V\sqrt{2}\sin(2\pi ft} = 230\sqrt{2}\sin(314t} \)
\( v_1(t) = 325\sin(314t) \)
Afficher la solution
Exercice 2 : Couplage étoile
Trois impédances \( Z = 50\angle{30°}\Omega \) sont couplées en étoile sur un réseau \( 400V/50Hz \). Calculez :
a) Le courant en ligne
b) La puissance active totale
Solution :
a) \( I = \frac{V}{|Z|} = \frac{230}{50} = 4,6A \)
b) \( P = 3VI\cos\varphi = 3 \times 230 \times 4,6 \times \cos{30°} \approx 2750W \)
\( \text{ou } P = \sqrt{3}UI\cos\varphi = \sqrt{3} \times 400 \times 4,6 \times \cos{30°} \approx 2750W \)
Afficher la solution
Exercice 3 : Couplage triangle
Trois résistances \( R = 30\Omega \) sont couplées en triangle sur un réseau \( 230V/50Hz \). Déterminez :
a) Le courant dans une résistance
b) Le courant en ligne
c) La puissance active totale
Solution :
a) \( I_{phase} = \frac{U}{R} = \frac{230}{30} \approx 7,67A \)
b) \( I_{ligne} = I_{phase}\sqrt{3} \approx 13,28A \)
c) \( P = 3UI_{phase}\cos\varphi = 3 \times 230 \times 7,67 \times 1 \approx 5292W \)
\( \text{ou } P = \sqrt{3}UI_{ligne}\cos\varphi = \sqrt{3} \times 230 \times 13,28 \times 1 \approx 5292W \)
Afficher la solution
Exercice 4 : Puissances en triphasé
Un moteur triphasé absorbe \( 15A \) sous \( 400V \) avec un facteur de puissance de \( 0,8 \). Calculez :
a) La puissance apparente \( S \)
b) La puissance active \( P \)
c) La puissance réactive \( Q \)
Solution :
a) \( S = \sqrt{3}UI = \sqrt{3} \times 400 \times 15 \approx 10392VA \)
b) \( P = S\cos\varphi = 10392 \times 0,8 \approx 8314W \)
c) \( Q = \sqrt{S^2 – P^2} = \sqrt{10392^2 – 8314^2} \approx 6235VAR \)
\( P \)
\( Q \)
\( S \)
\( \varphi \)
Afficher la solution
Exercice 5 : Correction du facteur de puissance
Une installation triphasée \( 400V \) consomme \( 20kW \) avec \( \cos\varphi = 0,75 \). On veut corriger à \( 0,95 \).
a) Calculez la puissance réactive avant correction
b) Déterminez la capacité des condensateurs (couplage étoile)
Solution :
a) \( \varphi_1 = \arccos{0,75} \approx 41,41° \)
\( Q_1 = P\tan\varphi_1 = 20000 \times 0,8819 \approx 17638VAR \)
b) \( \varphi_2 = \arccos{0,95} \approx 18,19° \)
\( Q_2 = 20000 \times \tan{18,19°} \approx 6578VAR \)
\( Q_c = Q_1 – Q_2 \approx 11060VAR \)
\( C = \frac{Q_c}{3V^2\omega} = \frac{11060}{3 \times 230^2 \times 314} \approx 221\mu F \)
Afficher la solution
Exercice 6 : Méthode des deux wattmètres
Pour mesurer la puissance d’un moteur triphasé équilibré, on relève : \( W_1 = 3200W \) et \( W_2 = 1500W \).
a) Calculez la puissance active totale
b) Déduisez le facteur de puissance
Solution :
a) \( P = W_1 + W_2 = 3200 + 1500 = 4700W \)
b) \( \tan\varphi = \sqrt{3}\frac{W_1 – W_2}{W_1 + W_2} = \sqrt{3}\frac{1700}{4700} \approx 0,626 \)
\( \varphi \approx 32° \) et \( \cos\varphi \approx 0,85 \)
W1
W2
\( P_{tot} = W1 + W2 \)
Afficher la solution
Exercice 7 : Rendement d’un moteur
Un moteur triphasé \( 400V \) a un rendement de \( 90\% \) et un \( \cos\varphi = 0,85 \). Sa puissance utile est \( 15kW \).
a) Calculez la puissance absorbée
b) Déterminez le courant en ligne
Solution :
a) \( \eta = \frac{P_u}{P_a} \Rightarrow P_a = \frac{P_u}{\eta} = \frac{15000}{0,9} \approx 16667W \)
b) \( P_a = \sqrt{3}UI\cos\varphi \Rightarrow I = \frac{P_a}{\sqrt{3}U\cos\varphi} = \frac{16667}{\sqrt{3} \times 400 \times 0,85} \approx 28,3A \)
\( \eta = 90\% \quad \cos\varphi = 0,85 \)
Afficher la solution
Exercice 8 : Chute de tension
Une ligne triphasée \( 400V \) en cuivre (\( \rho = 0,0225\Omega.mm^2/m \)) de \( 100m \) alimente un récepteur de \( 10kW \) avec \( \cos\varphi = 0,8 \).
a) Calculez le courant en ligne si \( \eta = 95\% \)
b) Déterminez la section minimale pour \( \Delta U \leq 5\% \)
Solution :
a) \( P_a = \frac{P_u}{\eta} = \frac{10000}{0,95} \approx 10526W \)
\( I = \frac{P_a}{\sqrt{3}U\cos\varphi} = \frac{10526}{\sqrt{3} \times 400 \times 0,8} \approx 19A \)
b) \( \Delta U_{max} = 400 \times 0,05 = 20V \)
\( S = \frac{\sqrt{3}\rho LI}{\Delta U} = \frac{\sqrt{3} \times 0,0225 \times 100 \times 19}{20} \approx 3,7mm^2 \) → \( 4mm^2 \)
Afficher la solution
Exercice 9 : Système déséquilibré
Un système triphasé \( 230V/400V \) alimente :
– Phase 1 : \( 2kW \) (résistif)
– Phase 2 : \( 3kVA \) avec \( \cos\varphi = 0,7 \) AR
– Phase 3 : \( 1,5kW + 2kVAR \)
Calculez le courant dans le neutre.
Solution :
1. Courants complexes :
\( I_1 = \frac{2000}{230}\angle{0°} \approx 8,7\angle{0°}A \)
\( I_2 = \frac{3000}{230}\angle{-45,57°} \approx 13,04\angle{-45,57°}A \)
\( I_3 = \frac{1500-j2000}{230} \approx 6,52 – j8,7A \approx 10,87\angle{-53,13°}A \)
2. \( I_N = I_1 + I_2 + I_3 \approx 8,7 + 9,13 – j9,3 + 6,52 – j8,7 \)
\( I_N \approx 24,35 – j18A \approx 30,3\angle{-36,5°}A \)
Afficher la solution
Exercice 10 : Transformateur triphasé
Un transformateur \( 20kVA \) \( 400V/230V \) a des pertes fer de \( 250W \) et des pertes cuivre de \( 400W \) à pleine charge.
a) Calculez son rendement à pleine charge avec \( \cos\varphi = 0,8 \)
b) Déterminez le rendement maximal et la charge correspondante
Solution :
a) \( P_u = S\cos\varphi = 20000 \times 0,8 = 16000W \)
\( \eta = \frac{P_u}{P_u + P_{fer} + P_{cu}} = \frac{16000}{16000 + 250 + 400} \approx 96,1\% \)
b) Rendement max quand \( P_{fer} = P_{cu} \)
\( k = \sqrt{\frac{P_{fer}}{P_{cu~nom}}} = \sqrt{\frac{250}{400}} \approx 0,79 \)
Charge optimale : \( 0,79 \times 20kVA \approx 15,8kVA \)
Afficher la solution
