Exercice 1 : Suite arithmétique

Soit \( (u_n) \) une suite arithmétique telle que \( u_5 = 17 \) et \( u_{10} = 32 \).

1. Déterminer la raison \( r \) et le premier terme \( u_0 \)
2. Calculer \( u_{20} \)

Solution :

1. \( r = \frac{32-17}{5} = 3 \) et \( u_0 = u_5 – 5r = 2 \)
2. \( u_{20} = u_0 + 20r = 62 \)

Exercice 2 : Suite géométrique

Une suite géométrique \( (v_n) \) vérifie \( v_2 = 12 \) et \( v_5 = 324 \).

1. Trouver la raison \( q \) et \( v_0 \)
2. Donner l’expression de \( v_n \) en fonction de \( n \)

Exercice 3 : Sens de variation

Étudier la monotonie de \( u_n = \frac{n^2 + 1}{2n + 3} \) pour \( n \geq 0 \).

Exercice 4 : Limite d’une suite

Déterminer la limite de \( w_n = \frac{3n^3 – 2n + 1}{5n^3 + n^2 – 4} \).

Exercice 5 : Suite récurrente

Soit \( (a_n) \) définie par \( a_0 = 1 \) et \( a_{n+1} = \sqrt{a_n + 6} \).

1. Montrer que \( (a_n) \) est croissante et majorée par 3
2. En déduire sa convergence et sa limite

Solution :

1. Par récurrence : \( a_n \leq 3 \) et \( a_{n+1} \geq a_n \)
2. Converge vers \( L \) solution de \( L = \sqrt{L + 6} \) ⇒ \( L = 3 \)

Exercice 6 : Théorème des gendarmes

Déterminer la limite de \( b_n = \frac{\sin(n) + 2n}{3n – \cos(n)} \).

Exercice 7 : Suite définie par une somme

Soit \( S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} \).

1. Calculer \( S_1, S_2, S_3 \)
2. Deviner une expression de \( S_n \)
3. Déterminer \( \lim_{n \to +\infty} S_n \)

Exercice 8 : Raisonnement par récurrence

Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( 5^n \geq 4^n + 3^n \).

Exercice 9 : Suite arithmético-géométrique

Soit \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = 2u_n + 3 \).

1. Trouver \( \alpha \) tel que \( \alpha = 2\alpha + 3 \)
2. Montrer que \( v_n = u_n – \alpha \) est géométrique
3. En déduire \( u_n \)

Exercice 10 : Application économique

Un capital \( C_0 = 1000 \)€ est placé à 5% d’intérêts composés annuels, avec un retrait fixe de 50€ chaque année.

1. Établir la relation entre \( C_{n+1} \) et \( C_n \)
2. Montrer que \( C_n = 1000 – 50n \) n’est pas solution
3. Déterminer la formule exacte