Solution :

1. Associativité : (a★b)★c = (a+b+1)+c+1 = a+(b+c+1)+1 = a★(b★c)
2. Élément neutre : -1 car a★(-1) = a + (-1) + 1 = a
3. Symétrique : Pour a, le symétrique est -a-2 car a★(-a-2) = a – a – 2 + 1 = -1
4. Commutativité : a★b = a+b+1 = b+a+1 = b★a

Solution :

1. Montrer que nℤ est un sous-groupe (stable, contient 0 et les inverses)
2. Réciproquement, soit H un sous-groupe de ℤ. Si H = {0}, c’est 0ℤ.
3. Sinon, soit n le plus petit entier strictement positif dans H.
4. Par division euclidienne, tout élément de H est multiple de n.

Solution :

1. Morphisme : f(x+y) = e^i(x+y) = e^ixe^iy = f(x)f(y)
2. Noyau : Ker(f) = {x ∈ ℝ | e^ix = 1} = 2πℤ

Solution :

1. (M₂(ℝ),+) est un groupe commutatif
2. Multiplication associative avec élément neutre I₂
3. Distributivité vérifiée
4. Non commutativité : contre-exemple avec A = (1 1; 0 0) et B = (1 0; 1 0)

Solution :

1. Si p premier : tout élément non nul est inversible (théorème de Bézout)
2. Si p non premier : ∃a,b ≠ 0 tels que ab = 0 mod p ⇒ pas de corps

Solution :

1. Cardinal : 3! = 6 permutations
2. Non commutatif : (1 2)∘(1 3) ≠ (1 3)∘(1 2)
3. Table de loi :

   ∘	id	(12)	(13)	(23)	(123)	(132)
   id	id	(12)	(13)	(23)	(123)	(132)
   (12)	(12)	id	(132)	(123)	(23)	(13)
   (13)	(13)	(123)	id	(132)	(12)	(23)
   (23)	(23)	(132)	(123)	id	(13)	(12)
   (123)	(123)	(13)	(23)	(12)	(132)	id
   (132)	(132)	(23)	(12)	(13)	id	(123)

Solution : Oui, c’est l’anneau des entiers de Gauss :

1. Stable par + et × : (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d) ∈ ℤ[i]
2. Stable par × : (a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc) ∈ ℤ[i]
3. Contient 1 = 1 + i0
4. Mais ce n’est pas un corps (2 ∈ ℤ[i] n’a pas d’inverse dans ℤ[i])

Solution : Par l’exponentielle :

1. f : ℝ → ℝ⁺_*, x ↦ e^x est bijective
2. C’est un morphisme : f(x+y) = e^x+y = e^xe^y = f(x)f(y)
3. Sa réciproque est le logarithme népérien

Solution :

1. Classes d’équivalence : Ḡ = {0̄,1̄,2̄,3̄,4̄}
2. Loi induite : ā + b̄ = (a + b mod 5)
3. Exemple : 3̄ + 4̄ = 2̄
4. Isomorphe à (ℤ₅,+)

Solution :

1. Les transpositions (1 2), (1 3), (2 3) ne commutent pas entre elles
2. Les 3-cycles (1 2 3) et (1 3 2) ne commutent pas avec les transpositions
3. Seule l’identité commute avec tous les éléments
4. Donc Z(S₃) = {id}