Exercices : Théorème de Thalès
Classe de 3ème
Exercice 1 : Calcul de longueur (configuration classique)
On donne : AB = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 4 cm et (DE) ∥ (BC).
1. Calculer AC.
2. Calculer BC sachant que DE = 5 cm.
Correction :
1. D’après le théorème de Thalès :
\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\) ⇒ \(\frac{3}{6} = \frac{4}{AC}\)
Donc \(AC = \frac{6 \times 4}{3} = \boxed{8 \text{ cm}}\)
2. \(\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}\) ⇒ \(\frac{3}{6} = \frac{5}{BC}\)
Donc \(BC = \frac{6 \times 5}{3} = \boxed{10 \text{ cm}}\)
Exercice 2 : Configuration “papillon”
On donne : AE = 2 cm, EB = 3 cm, CF = 5 cm et (EF) ∥ (BD).
1. Calculer CD.
2. Montrer que (AC) ∥ (BD).
Correction :
1. D’après le théorème de Thalès :
\(\frac{AE}{AB} = \frac{CF}{CD}\) ⇒ \(\frac{2}{5} = \frac{5}{CD}\)
Donc \(CD = \frac{5 \times 5}{2} = \boxed{12,5 \text{ cm}}\)
2. On calcule \(\frac{AE}{EB} = \frac{2}{3}\) et \(\frac{CF}{FD} = \frac{5}{7,5} = \frac{2}{3}\)
Les rapports sont égaux et les points alignés dans le même ordre, donc (AC) ∥ (BD).
Exercice 3 : Réciproque de Thalès
On donne : AB = 7 cm, AC = 10 cm, AD = 3 cm, AE = 5 cm, DE = 4 cm, BC = 6 cm.
Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.
Indice : Pensez à calculer les rapports et vérifier l’ordre des points.
Correction :
Calculons les rapports :
\(\frac{AD}{AB} = \frac{3}{7} \approx 0,428\)
\(\frac{AE}{AC} = \frac{5}{10} = 0,5\)
Les rapports sont différents (\(\frac{3}{7} \neq \frac{5}{10}\)), donc les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.
Exercice 4 : Problème concret
Un bâtiment de 12 m de hauteur projette une ombre de 18 m. Une personne mesurant 1,80 m se tient debout près du bâtiment.
1. Faire un schéma et poser les lettres comme dans la figure ci-dessus.
2. Calculer la longueur de l’ombre de la personne.
Correction :
1. Schéma avec :
– AB = hauteur du bâtiment = 12 m
– BC = ombre du bâtiment = 18 m
– DE = hauteur personne = 1,80 m
2. Les rayons du soleil étant parallèles, (DE) ∥ (AB) donc Thalès s’applique :
\(\frac{DE}{AB} = \frac{CE}{CB}\) ⇒ \(\frac{1,8}{12} = \frac{CE}{18}\)
Donc \(CE = \frac{1,8 \times 18}{12} = \boxed{2,7 \text{ m}}\)