10 Exercices sur les Primitives et Intégrales
2ème BAC Sciences Mathématiques
Exercice 1 : Calcul de primitive
Déterminer la primitive de \( f(x) = 3x^2 – 4x + 5 \) qui s’annule en \( x = 1 \).
Solution :
- Primitive générale : \( F(x) = x^3 – 2x^2 + 5x + C \)
- Condition \( F(1) = 0 \) ⇒ \( 1 – 2 + 5 + C = 0 \) ⇒ \( C = -4 \)
- Solution : \( F(x) = x^3 – 2x^2 + 5x – 4 \)
Exercice 2 : Intégrale simple
Calculer \( \int_{0}^{\pi} (2\sin x + 3\cos x) dx \)
Solution :
- Primitive : \( -2\cos x + 3\sin x \)
- Calcul : \( [-2\cos π + 3\sin π] – [-2\cos 0 + 3\sin 0] \)
- Résultat : \( (2 + 0) – (-2 + 0) = 4 \)
Exercice 3 : Intégration par parties
Calculer \( \int x e^{2x} dx \)
Solution :
- Choix : \( u’ = e^{2x} \) ⇒ \( u = \frac{1}{2}e^{2x} \) et \( v = x \) ⇒ \( v’ = 1 \)
- Formule : \( \frac{x}{2}e^{2x} – \int \frac{1}{2}e^{2x} dx \)
- Résultat : \( \frac{e^{2x}}{4}(2x – 1) + C \)
Exercice 4 : Changement de variable
Calculer \( \int \frac{x}{x^2 + 1} dx \)
Solution :
- Poser \( u = x^2 + 1 \) ⇒ \( du = 2x dx \)
- Intégrale devient : \( \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} \)
- Résultat : \( \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C \)
Exercice 5 : Aire sous une courbe
Calculer l’aire délimitée par \( y = x^2 \), l’axe Ox, et les droites \( x = 0 \), \( x = 2 \)
Solution :
- Intégrale : \( \int_{0}^{2} x^2 dx \)
- Calcul : \( \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \)
Exercice 6 : Intégrale avec valeur absolue
Calculer \( \int_{-1}^{2} |x| dx \)
Solution :
- Décomposer : \( \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx \)
- Calculer : \( \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 + \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 \)
- Résultat : \( \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \)
Exercice 7 : Intégrale trigonométrique
Calculer \( \int \sin^2 x dx \)
Solution :
- Utiliser \( \sin^2 x = \frac{1 – \cos(2x)}{2} \)
- Intégrale devient : \( \frac{1}{2} \int (1 – \cos(2x)) dx \)
- Résultat : \( \frac{x}{2} – \frac{\sin(2x)}{4} + C \)
Exercice 8 : Intégrale rationnelle
Calculer \( \int \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 5} dx \)
Solution :
- Compléter le carré : \( x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1 \)
- Poser \( u = x + 2 \) ⇒ \( du = dx \)
- Décomposer : \( \int \frac{2(u-2) + 3}{u^2 + 1} du = \int \frac{2u – 1}{u^2 + 1} du \)
- Résultat : \( \ln(u^2 + 1) – \arctan(u) + C \)
Exercice 9 : Problème physique
Un objet se déplace avec une vitesse \( v(t) = 3t^2 – 2t + 1 \) (m/s). Calculer la distance parcourue entre \( t = 1 \) et \( t = 3 \) secondes.
Solution :
- Distance = \( \int_{1}^{3} v(t) dt = \int_{1}^{3} (3t^2 – 2t + 1) dt \)
- Calcul : \( [t^3 – t^2 + t]_1^3 = (27 – 9 + 3) – (1 – 1 + 1) = 21 – 1 = 20 \) m
Exercice 10 : Synthèse
Calculer \( \int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^2 x dx \)
Solution :
- Changement de variable : \( u = \cos x \) ⇒ \( du = -\sin x dx \)
- Intégrale devient : \( -\int_{1}^{0} u^2 du = \int_{0}^{1} u^2 du \)
- Résultat : \( \left[\frac{u^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} \)
